Funciones vareias variables

Universidad Andr´s Bello e Departamento de Matem´ticas a Facultad de Cs. de la Salud FMM 134 - C´lculo Aplicado a

GUIA FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
1. Evaluar los siguientes l´ ımites o demostrar que ellos no existen. (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i)
(x,y)→(0,0) x2

lim

lim
(x,y)→(0,0)

lim
(x,y)→(1,2)

lim
(x,y)→(1,1)

lim
(x,y)→(0,0)

lim
(x,y)→(1,3)

lim(x,y)→(0,0)

lim
(x,y)→(0,0)

xy + y2 x2 x2 + y 2 5x2 y x2 + y 2 x √ x+y (1 + sen(x))(1 − cos(y)) y 6x − 2y 9x2 − y 2 y 2 + y2 x exy x+y x−y

(j)

lim
(x,y)→(0,0)

cos(x) sen(y) y x3 + y 3 x2 + y 2 x3 + y 3 x2 + y 2

(k)

lim
(x,y)→(0,0)

(l)

lim
(x,y)→(1,−1)

(m) (n) (o)

lim
(x,y)→(0,0)

x2 − y 2 x2 + y 2 exy sen(xy) xy ln( 1 − x2 − y 2 ) x2 + 3xy + y 2 x2 + 4xy + y 2

lim(x,y)→(0,0)

lim
(x,y)→(0,0)

lim
(x,y)→(2,4)

(p)

lim
(x,y)→(0,0)

2. Calcular fx ; fy para las siguientes funciones que se indican: a) f (x, y) = x3 y 4 c) f (x, y) = e3x · ln(xy) e) f (x, y) =
3 y+1 x√ xy

b) f (x, y) = d) f (x, y) =
2x y3

x2 − y 2

f) f (x, y) = cos(x2 + 2y) h) f (x, y) = ln(tg
x y x y

g) f (x, y) = xy i) f (x, y) = √ 1 + x2 · ln

)
x y2

j) f(x, y) = arcsen

3. Calcular las cuatro derivadas parciales de orden dos fxx ; fxy ; fyy ; fyx . a) f (x, y) = 5x2 − 3xy b) f (x, y) = x4 + x4 y −7 − 6x3 y c) f (x, y) = sen(x2 y) d) f (x, y) = tg(x + 3y) e) f (x, y) = √
1 x2 +y 2

4. Evaluar las derivadas parciales de las siguientes funciones en los puntos dados. ( fx ; fy ; fxy ; fyx ; fxx ; fyy ). (a) f (x, y) = 2x − 3y + 6 en ( 2, -2 ).(b) f (x, y) = (x2 − y) · e2y en ( 3, 0 ). (c) f (x, y) = y · ln(2xy 2 + 5y) en ( 3, -1 ). (d) f (x, y) = cos(2xy) +
1 x2 +y 2

en ( 0, 1 ).

5. Hallar las derivadas parciales: fxyy ; fyxy ; fyyx ; fxxx ; fyyy si: a) f (x, y, z) = x · y · z c) f (x, y, z) =
x y+z

b) f (x, y, z) = e−x · sen(yz)

d) f (x, y, z) = xyz · exyz

e) f (x, y, z) = (x2 + y 2 )cos z 6. Aplicando la regla de lacadena, determinar las derivadas parciales indicadas. (a) f (x, y) = x2 + y 3 ; x = 3t + 1 ; y = t5 ; √ x = t ∂f (b) f (x, y) = ln x , ; ∂t y y=1 t (c) f (x, y) = 3x5 + 2y 3 ; (d) f (x, y) = x = t2 + s4 ; y = 3ts
∂f ∂t ∂f ∂t .

;

∂f ∂s

x2 + y 2 ; x = r cos θ, y = rsenθ; fr , fθ

(e) f (x, y, z) = cos(xyz 3 ); x = sent + s2 ; y = cos t − s2 ; z = (f) f (x, y, z) = exy+z ; x = s + t; y = s− t; z = t2 ; fs ; ft APLICACIONES DE DERIVADAS PARCIALES.

√

ts; ft , fs

7. Dada la funci´n z = f (x, y) = x2 y 2 − ln(x2 + y 2 ). Determine si se cumple: o x· ∂f ∂f +y· = 4x2 y 2 − 2 ∂x ∂y

8. Si f (x, y) = x2 y − xy 2 + ln(xy). Entonces fxy = fyx . 9. Sea f (x, y) = ln(ex + ey ). Verifique si se cumple fx + fy = 1. 10. Dada la funci´n f (x, y) = ln(3x + y 2 ). Verifique que fxy = fyx .o 11. Dada la funci´n f (x, y) = x3 y 2 − 2x2 y + 3x. Demuestre que fxy = fyx . o
y

12. Demuestre que si f (x, y) = e x ⇒ x · fx + y · fy = 0. 13. Si f (x, y) = 800 3 xy 2 . Demuestre que x · fx + y · fy = f (x, y). 14. Si f (x, y, z) = e3x+4y · sen(5z). Demuestre que fxx + fyy + fzz = 0. 15. Si f (x, y) =
x2 +y 2 x+y .

Pruebe si se verifica x · fx + y · fy = f (x, y).

16. Dada lafunci´n f (x, y) = x3 − 3x2 y + 2y 2 − 12. Demuestre que: o 2 ∂2f ∂2f ∂2f +2 + 3y 2 = 0 ∂x2 ∂x∂y dy

17. Dada la funci´n f (x, y) = cos(x + y) + cos(x − y). Demuestre que: o ∂2f ∂2f = ∂x2 dy 2 18. Sea f (x, y) = x2 + y 2 ; x = er cos(s) ; y = er sen(s). Demuestre que: ∂f ∂f = er ; =0 ∂r ∂s 19. Si w = f (u) ; u = g(x, y) = x , entonces x · y
∂w ∂x

+y·

∂w ∂y

= 0.

20. Dada f (x, y) = exy ;x = 3u + 2v ; y = 4u − 2v. Demuestre que: 1 exy 21. Si z = xy + y ln(xy). Demuestre que x · ∂f ∂f + ∂u ∂v
∂2z ∂x2

= 2x + 5y = y2 ·
1 r2 ∂2z . ∂y 2

+y·

∂2z ∂x2

22. Si u = f (x, y) ; x = r cos θ ; y = rsenθ. Exprese u2 + r 23. Si z = ln(x2 + y 2 ). Demuestre que
1 ∂2z ∂x2 ∂2z ∂x∂y

e · u2 en t´rminos de x e y. θ

+ =

∂2z ∂y 2

= 0.

24. Si z = xy + xe y . Demuestre...