Funciones vectoriales de variable real

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Mag. Jube Portalatino Z.

funciones

n

→

Mag. Jube Portalatino Z.

funciones n

n

→

1

17. Determinar los extremos relativos de 17.1 f (x, y) = x 3 + y3 + 3xy 2 − 18(x + y) 17.2 f (x, y) = 2x 4 + y 4 − x 2 − 2y 2 17.3 f (x, y) = x 4 + y 4 − x 2 − 2xy − y 2 17.4 f (x, y, z) = x + y + z + 12xy + 2z 17.5 f (x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 + 2x + 4y − 6z 17.6 f (x, y, z) = z +2

FUNCIONES DE
1. 1.1. f (x, y) =
x 2 − y2 + xy

→

Describir y graficar el dominio de las siguientes funciones  y  1.3. f (x, y) = arccos   x−y 1.4. f (x, y) = arccos( x + y − 1)

3

2

2

1.2. f (x, y) = x +

1 − y2

y2 x 2 2 + + 4z y x
2 2

1.5. f (x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 − 4 + ln(9 − x 2 − y 2 − z 2 ) 1.6. f (x, y, z) = 4 16 − x 2 − 16y 2 − 4z 2 + 6 2.
x 2 y2+ −z 4 16

17.7 f (x, y, z) = 2x + 2y + z + 2yz − 2xy − 8x 17.8 f (x, y) = e 2x + y (x 2 + 4y 2 ) 18. Determinar los extremos condicionados de x y 18.1 f (x, y) = + , si x 2 + y 2 = 1 a a 18.2 f (x, y) = 4x 2 + 2y 2 + 5 , si x 2 + y 2 − 2y = 0 18.3 f (x, y) = xyz , si x 2 + y 2 + z 2 = 1 , x + y + z = 0
x 2 y2 z2 18.4 f (x, y, z) = x + y + z , si + + =1 a 2 b 2 c2 18.5 f (x, y, z) = x 3 + y3 +z 3 , si x + y + z = 1
2 2 2

Construir las curvas de nivel de las siguientes funciones y graficarlas para 3 valores. 2 2 2.1 f (x, y) = 1 − x − y 2.3 f (x, y) = e x + y 2.2 f (x, y) = max( x , y ) 2.4 f (x, y, z) = x 2 + y 2 − z 2

Calcular los siguientes límites: 2x 3 − y3 3.1 lim (x,y) → (0, 0) x 2 + y 2 3. 3.2
(x,y) → (0, 0)

3.5 3.6 3.7 3.8

(x,y) → (0, 0)

lim

x 2 y2 x 4 + y4x2 x + y (x 2 + y 2 ) sen x 2 − y2 x 2 + y2 1 yx

lim

(x 3 + y 2 ) sen 3x 3 y x 2 + y2 1 − cos xy x

x y cos 2 2 y x

(x,y) → (0, 0)

lim

19. ¿En qué punto de la elipse

x 2 y2 + = 1 , la tangente a ésta forma con los ejes a 2 b2 coordenados el triángulo de menor área?

3.3 3.4 4.

(x,y) → (0, 0)

lim

(x,y) → (0, 0)

lim

20. Un cuerpo consta de un cilindro circularrecto que termina con un cono circular recto. Dada la superficie total del cuerpo igual a 200 m3. Determinar sus dimensiones tal que su volumen sea máximo. 21.

(x,y) → (0, 0)

lim

(x,y) → (0, 0)

lim

Determinar los puntos de continuidad y discontinuidad de las siguientes funciones: x 2 + y2  sen 2 (x − y) 4.3 f (x, y) = , x + y ≠0  4.1 f (x, y) =  x + y 4 − x 2 − y2  x + y = 0 4.4f (x, y) = y 2 − x 0, 4.2 f (x, y) =
1 sen x sen y

2

Mag. Jube Portalatino Z.

funciones

n

→

Mag. Jube Portalatino Z.

funciones

n

→

3

5.

Hallar las primeras y segundas derivadas parciales de las siguientes funciones
y2

5.1 f (x, y) = x

5.2 f (x, y) = arctan 5.3 f (x, y, z) = x y
2
z

x 2 − y2 x 2 + y2
2

x 5.5 f (x, y, z) =   y 5.6 f (x, y,z) = e x / y + e z / y 5.7 f (x, y) = 5.8

z

 xy  10.3 f (x, y, z) = arctan  2  z  xy en (x, y) = (3, 1) 10.4 f (x, y) = 2 x + y2

5.4 f (x, y) = sen (ln xy )

∫ f (x, y) = ∫
3

y x y x

esen t dt cos t dt
2

11. Hallar ∇ f ( x 0 ) de 11.1 f (x, y, z) = z 2 e x seny , x 0 = (0, π , 2) 2 11.2 f (x, y, z) = x 2 + y 2 − z , x 0 = (2, − 1, 0) 11.3 f (x, y, z) = x z + z x + y z+ z y , x 0 = (2, 1, 1) 12. Hallar la derivada direccional D u f (P) en la dirección PQ , de 12.1 f (x, y) = e x arctan y , P = (0, 2), Q = (-2, 5)

2

6.

Hallar

x + y , y2 + x ≠ 0 ∂f ∂f  (−1,1) , (−1,1) , si existe, de f (x, y) =  y 2 + x ∂x ∂y  y2 + x = 0 0,
3 3

7.

x + y , (x, y) ≠ 0  ¿La función f (x, y) =  y 2 + x 2 es diferenciable en (0, 0)? 0, (x, y) = 0   xy (x2 − y 2 ) , x 2 + y2 ≠ 0 ∂ 2f  Si f (x, y) =  y 2 + x 2 , calcular (0, 0) ∂ y∂ x  2 2 x +y =0 0,

12.2 f (x, y) = e x cos y + e y senx , P = (1, 0), Q = (-3, 2) 12.3 f (x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 , P = (1, 1, 1), Q = (7, 8, 0) 13. Hallar las derivadas indicadas en cada caso ∂u ∂u y 13.1 u = zsen   , x = 3r 2 + 2s, y = 4r − 2s3 , z = 2r 2 − 3s 2 ; , ∂r ∂s x dz 13.2 z = ln(x 2 + y 2 )...