Funciones vectoriales

FUNCIONES VECTORIALES
v

ϖ0

v e lo c i d a d

in ic ia l

v a a

v0

θ
altura inicial y0 1 1 a v

y r(t)

P

Vector velocidad ∆r

r(t) r(t+∆ t)

Q

x

Mtro. Óscar Ruiz Chávez

Universidad Autónoma de Ciudad Juárez

M.C. Óscar Ruiz Chávez Apuntes de Cálculo III

1

INDICE FUNCIONES VECTORIALES___________________3
FUNCIÓNVECTORIAL....................................................................................................... ..4
Dominio de una función vectorial...........................................................................................................5 Operaciones con funciones vectoriales...................................................................................................6 Límites yContinuidad.............................................................................................................................6 Derivación de funciones vectoriales.......................................................................................................7 Integración de funciones vectoriales.......................................................................................................9DESPLAZAMIENTO, VELOCIDAD Y ACELERACIÓN............................................ .....10
Definición de velocidad, aceleración y rapidez....................................................................................11 Movimiento de proyectiles – Tiro parabólico.......................................................................................13 Vectores tangentes y vectoresnormales................................................................................................17 Vector aceleración – componentes tangencial y normal.......................................................................23

LONGITUD DE ARCO Y CURVATURA............................................................................ .27
Longitud dearco...................................................................................................................................27 Curvatura...............................................................................................................................................29

2

M.C. Óscar Ruiz Chávez Apuntes de Cálculo III

FUNCIONES VECTORIALES
En el capítulo anterior, cuando describimos la recta en el espacio, utilizamos unparámetro en las ecuaciones para encontrar las coordenadas de los puntos que conforman esa recta.
ecuaciones  x  x1  at  paramétricas   y  y1  bt  z  z  ct de la recta 1 

cada coordenada depende de el valor que le demos al parámetro t, en otras palabras, cada una está en función de t. x  f (t ), y  g (t ), z  h(t ) ¿Qué pasa si a cada punto de la recta le asignamos un vector deposición r r ˆ ˆ ˆ r  xi  yj  zk  Tendríamos un vector para cada valor de t, o sea que r es, a su vez, una función de t. r r ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ r  xi  yj  zk  r (t )  f (t )i  g (t ) ˆ  h(t )k j r ˆ ˆ r (t )  ( x  at )i  ( y  bt ) ˆ  ( z  ct )k j
0 0 0

 x  1  2t  Por ejemplo, para la recta con ecuaciones paramétricas  y  3  t , la posición de  z  2  3t 

r ˆ ˆ cada uno de suspuntos esta dada por r (t )  (1  2t )i  (3  t ) ˆ  (2  3t )k , si j tabulamos dádole valores a t para encontrar algunos vectores tenemos
t -2 -1 0 1 2

r r (t )
ˆ ˆ 3i  5 ˆ  4k j ˆ i  4 ˆ  k j ˆ
ˆ ˆ i  3 ˆ  2k j ˆ ˆ 3i  2 ˆ  5k j

punto
A  3,5, 4 
B  1, 4, 1

C  1,3, 2 
D  3, 2,5 

ˆ ˆ j 5i  ˆ  8k
z Recta E

E  5,1,8 

D

-3 C 1 5 B y

A 5 xM.C. Óscar Ruiz Chávez Apuntes de Cálculo III

3

r ˆ j la recta dada por r (t )  (1  2t )iˆ  (3  t ) ˆ  (2  3t )k

FUNCIÓN VECTORIAL

r ˆ ˆ j Cualquier función de la forma r (t )  f (t )i  g (t ) ˆ  h(t )k  f (t ), g (t ), h(t ) se conoce como función vectorial, con f, g y h como funciones reales del r parámetro t. ( se conocen como las funciones componentes de r (t ) ) r ˆ j...