funciones vectoriales
CÁLCULO VECTORIAL
FUNCIONES VECTORIALES
Conceptos fundamentales
Definición. Una función vectorial de variable vectorial es una
regla que asocia a cada punto " r " de una cierta región
S⊂
n
un vector
()
m
F r ∈
F : S∈
y se denota como
n
→
m
Al conjunto " S " de valores que toma la variable
independiente,se le denomina dominio y al conjunto de
valores que toma
()
F r se le llama imagen o recorrido. Las
funciones vectoriales se conocen también como campos
vectoriales y aquí se clasificarán en:
- Campos vectoriales de variable escalar
- Campos vectoriales de variable vectorial
Definición. Un campo vectorial de variable escalar es una
función vectorial con dominio en los reales, esdecir, cuando
n = 1. En dos y tres dimensiones se acostumbra representar
como:
F:
F:
→
2
→
3
∧
∧
∧
∧
F (t ) = x (t ) i + y (t ) j
⇒
F (t ) = x (t ) i + y (t ) j + z (t ) k
⇒
Ejemplos de funciones vectoriales de variable escalar:
∧
∧
i) F ( t ) = t i + t j
3
∧
2
∧
∧
ii) F (θ ) = a (θ + senθ ) i + a (1− cos θ ) j
∧
∧
∧
iii) F ( t) = ( x0 + at ) i + ( y0 + bt ) j + ( z0 + ct ) k
∧
∧
∧
iv) F ( v ) = a cos v i + bv j + asenv k
Sus gráficas son las siguientes:
Cuando el dominio de la función vectorial es de dimensión
mayor de uno, o sea, n > 1 se tiene el caso de funciones
vectoriales de variable vectorial.
Ejemplos de funciones vectoriales de variable vectorial:
∧
∧
∧
i) F ( t, s ) = ( x0 + a1s +a2t ) i + ( y0 + b1s + b2t ) j + ( z0 + c1s + c2t ) k
∧
∧
∧
ii) F (u, v ) = u cos v i + usenv j + u k
2
ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
3
∧
∧
∧
iii) F (u, v ) = senu cos v i + senusenv j + cos u k
Sus gráficas son las siguientes:
Límites y continuidad de funciones vectoriales
Definición. El límite de una función vectorial, cuando la variable
r∈
n
tiende alpunto
r0 ∈
n
, denotado como
()
lim F r = I
r →r 0
existe sí y sólo si para
ε >0
y
δ >0
se cumple que:
ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
4
()
F r − I < ε siempre que 0 < r − r 0 < δ
Teorema. Sea
Entonces:
F : n → m definida por
F r = ⎡ y1 r , y2 r , , y m r ⎤
⎣
⎦
()
() ()
()
()
()
()
lim F r = ⎡lim y1 r ,lim y2 r ,
⎢ r →r 0
r →r 0
r→r 0
⎣
()
,lim y m r ⎤
⎥
r →r 0
⎦
Teorema. Propiedades. Sean
F:
tales
que
n
→
m
()
lim F r = A
r →r 0
y
y
G:
n
()
→
m
lim G r = B , entonces se
r →r 0
cumple que:
A existe, es único.
ii) lim ⎡ kF r + G r ⎤ = kA + B ; k ∈
⎦
r →r 0 ⎣
iii) lim ⎡ F r ⋅ G r ⎤ = A ⋅ B
⎦
r →r 0 ⎣
iv) Para m = 3 ; lim ⎡ F r × G r ⎤ = A × B
⎦
r →r 0 ⎣i)
Si
() ()
() ()
()
() ()
v) lim F r = A
r →r 0
π
⎛
⎞
1
sen t ∧ 2
−
∧
∧
⎜
2 i − t − 1 j + e t −1 k ⎟
Ejemplo. Calcular lim ⎜
⎟
t →1
1− t
t
⎜
⎟
⎝
⎠
ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
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Ejemplo. Calcular
lim F ( r ) si
r →r 0
⎛ x ⎞ ∧ x 2 − 2 xy + y 2 ∧
F ( x, y ) = xang tan ( xy ) i + ln ⎜ ⎟ j +
k
2
3
y⎠
x y−y
⎝
∧
r 0 = (1 )
,1
ING. PABLOGARCÍA Y COLOMÉ
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Continuidad
F : n → m una función vectorial. Se dice que
F es continua en r 0 ∈ n sí y sólo si se cumple que
Definición. Sea
() ( )
lim F r = F r 0
r →r 0
Definición. Se dice que
que
()
F r es continua en r = r 0 si se cumple
() ( )
lim F r − F r 0 = 0 o bien lim Δ F = 0
r →r 0
Δ r →0
Derivadas
Definición.
i) Sea F : → m unafunción vectorial de variable escalar
" t " . Entonces se define a la derivada de F en t0 como:
dF ( t )
dt
= lim
Δt →0
(siempre que el límite exista)
F ( t0 + Δt ) − F ( t0 )
Δt
ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
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ii)
Sea
vectorial
F:
n
→
m
r = ( x1, x2 ,
una función vectorial de variable
()
, xn ) , esto es, F r = F ( x1, x2 ,
Entonces se define...
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