Funciones vectoriales

Republica Bolivariana De Venezuela
Ministerio Del Poder Popular Para La Defensa
Universidad Nacional Experimental Politécnica De La Fuerza Armada Nacional Bolivariana
San Tome – Estado Anzoátegui








Bachiller:
lo borre jeje


San Tome, Noviembre 2011

Índice

Introducción……………………………….…………......……. Pág.3
Funciones Vectoriales………...…….........................…..….… Pág. 4-9
Conclusión………………………………………………….... Pág. 10
Referencias Bibliográficas……….……………………………Pág. 11

Introducción

Funciones Vectoriales
Cuando una función vectorial es diferenciable, se puede identificar con una curva diferenciable. Al vector F(t)
Se le llama vector de posición de la curva y, si F′(t) 6= 0, el vector F′(t)es el vector tangente a la curva en el
Punto F(t); a dicho vector se le llama también vector velocidad y la velocidad en el instante t es kF′(t)k.
De modo similar F′′(t) es el vector aceleración y kF′′(t)k es la aceleración.
Se llama vector tangente unitario T al vector T (t) =
F′(t)
kF′(t)k
.
Longitud de un arco de curva en R3.
La longitud de un arco de curva en R3, entre dos puntos F(a)y F(b) viene dada por la formula
L(F, a, b) =
Z b
a
p
(x′(t))2 + (y′(t))2 + (z′(t))2dt

Curvatura.

Dada una curva F(t) definida en un intervalo a ≤ t ≤ b, se define el parámetro longitud de arco s(t) como
La longitud del arco de curva entre F(a) y F(t). Se puede reparametrizar la curva en función del parámetro
Longitud de arco s. Se define la curvatura _ de una curva como la derivadadel vector tangente unitario respecto
al parámetro longitud de arco:
_ =

dT
ds

Esta definición es bastante intuitiva, puesto de mide como varia el vector tangente respecto de la longitud del
Arco de curva. Sin embargo no es fácil de calcular; no obstante se puede obtener la siguiente expresión más fácil
De manejar:
_ =
kT ′(t)k
kF′(t)k
.
El vector N(t) =
T ′(t)
kT ′(t)k
, es unvector unitario en la dirección de T ′(t) y se llama vector normal principal Unitario.

En la ciencia y la ingeniería a menudo es conveniente introducir un vector r con las funciones f y g como componentes.
R(t) = < f(t), g(t)> =f(t)i + g(t)j
Se dice que r es una función vectorial. De manera semejante, una curva en el espacio es parametrizada por 3 ecuaciones
X = f(t) y = g(t) z =h(t) a " t " b
Una función vectorial se expresa como:
R(t) = < f(t),g(t), h(t) > = f(t) I +g(t) j + h(t)k
Cuando t varia es posible imaginar que la curva C esta siendo trazada por la punta móvil de r(t)

Calculo de funciones vectoriales
Límites y continuidad
La función fundamental de limite de una función vectorial se define en términos de los limites de las funciones componentes
Lim r(t)= lim f(t), lim g(t), lim h(t)
t a t a t a
TEOREMA
Si lim t a r1(t) = L1 y lim t a r2 (t) = L2 entonces
* Lim C r1 (t) = CL1, C en donde C es un escalar
t a
(ii) lim [ r1 + r2 (t) = L1 + L2
t a
* lim r1 . rt2 = L1 . L2
t a
Derivadas de funciones vectoriales
La derivada de una función vectorial r es
r'(t) = lim 1/t [r (t +t) - r(t)]
TEOREMA
Si r(t)= < f(t), g(t), h(t)>,en donde f,g,h son diferenciables, entonces
r'(t) =< f'(t). g'(t).h'(t)>

Interpretación geométrica de r'(t)
Si el vector r't no es 0 en un punto p, entonces puede dibujarse tangente a la curva en p.
r = r(t + t) - r(t)
r/ t = 1/t [r (t + t)-r(t)
Ejercicios:
1.- Trazar la curva C que es descrita por un punto P cuya posición está dada por r(t) = cos 2 ti + sen tj, o" t " 2". Tracer'(0) y r'("/6)
Eliminando el parámetro de las ecuaciones paramétricas x = cos 2t
Y =2 sen t 0" t " 2" encontramos que C es la parábola x = 1-2y2
-1" x" 1
r'(t) = -2 sen 2 ti + cos tj
r´(0) = j y r'(" /6) = -"3i + " /2 J
r'(" /6) y
r'(0)
x
(1,0)
Obtener ecuaciones de paramétricas de la recta tangente de la curva C cuyas ecuaciones son paramétricas son
x = t2 y = t2 - t z = -7 t
En t...