funciones vectoriales

CALCULO VECTORIAL

DERIVADA DE UNA FUNCION
VECTORIAL
LA DERIVADA DE UNA FUNCION VECTORIAL 𝑟 SE DEFINE COMO

𝑟′

𝑡 = lim

∆𝑡→0

𝑟 𝑡 + ∆𝑡 − 𝑟 𝑡
∆𝑡

PARA TODO “t” PARA EL CUAL EXISTE ELLIMITE. SI 𝑟 ′ 𝑐 EXISTE PARA TODO c EN UN
INTERVALO ABIERTO 𝐼, ENTONCES 𝑟 ES DERIVABLE EN EL INTERVALO 𝐼 .

DERIVACION DE FUNCIONES VECTORIALES
SI 𝑟 𝑡 = 𝑓 𝑡 𝑖 + 𝑔 𝑡 𝑗 Y 𝑟 𝑡 = 𝑓 𝑡 𝑖 + 𝑔 𝑡 𝑗 + ℎ 𝑡𝑘 EN DONDE f , g Y h SON
FUNCIONES DERIVABLES DE “t”, ENTONCES
PARA EL PLANO:
𝑟 ′ 𝑡 = 𝑓 ′ 𝑡 𝑖 + 𝑔′ 𝑡 𝑗
PARA EL ESPACIO:
𝑟 ′ 𝑡 = 𝑓´ 𝑡 𝑖 + 𝑔′ 𝑡 𝑗 + ℎ´ 𝑡 𝑘

HALLAR LA DERIVADA 𝑟 ′ 𝑡 CUYA FUNCIONVECTORIAL ES: 𝑟 𝑡 = 6𝑡𝑖 − 7𝑡 2 𝑗 + 𝑡 3 𝑘
SOLUCION:
𝑟 𝑡 = 6𝑡 𝑖 − 7𝑡 2 𝑗 + 𝑡 3 𝑘

⇒⇒⇒

𝑑
𝑑
𝑟´ 𝑡 =
6𝑡 𝑖 −
7𝑡 2
𝑑𝑡
𝑑𝑡

𝑟 ′ 𝑡 = 𝑓´ 𝑡 𝑖 + 𝑔′ 𝑡 𝑗 + ℎ´ 𝑡 𝑘

𝑑 3
𝑗+
𝑡
𝑑𝑡

𝑘 = 6𝑖 − 14𝑡 𝑗 + 3𝑡2 𝑘

∴ 𝑟´ 𝑡 = 6𝑖 − 14𝑡 𝑗 + 3𝑡 2 𝑘

HALLAR LA DERIVADA 𝑟 ′ 𝑡 CUYA FUNCION
VECTORIAL ES: 𝑟 𝑡 = 𝑎 cos 3 𝑡 𝑖 + 𝑎 𝑠𝑒𝑛3 𝑡 𝑗 + 𝑘
SOLUCION:
𝑟 𝑡 = 𝑎 cos 3 𝑡 𝑖 + 𝑎 𝑠𝑒𝑛3 𝑡 𝑗 + 𝑘

⇒⇒⇒

𝑟 ′ 𝑡 = 𝑓´ 𝑡 𝑖+ 𝑔′ 𝑡 𝑗 + ℎ´ 𝑡 𝑘

𝑑
𝑑
𝑑
3
3
𝑟´ 𝑡 =
𝑎 cos 𝑡 𝑖 +
𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑗 +
1 𝑘
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
= −3𝑎 cos 2 𝑡 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑖 + 3𝑎 sen2 𝑡 𝑐𝑜𝑠 𝑡 𝑗 + 0𝑘
∴ 𝑟´ 𝑡 = −3𝑎 cos 2 𝑡 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑖 + 3𝑎 sen2 𝑡 𝑐𝑜𝑠 𝑡 𝑗 + 0𝑘

HALLARLA DERIVADA 𝑟 ′ 𝑡 CUYO VECTOR ES:
𝑟 𝑡 = (𝑡 𝑠𝑒𝑛 𝑡, 𝑡 cos 𝑡 , 𝑡)
SOLUCION:
𝑟 𝑡 = 𝑡 𝑠𝑒𝑛 𝑡, 𝑡 cos 𝑡 , 𝑡 = 𝑡 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑖 + 𝑡 cos 𝑡 𝑗 + 𝑡𝑘 ⇒ ⇒ ⇒ 𝑟 ′ 𝑡 = 𝑓´ 𝑡 𝑖 + 𝑔′ 𝑡 𝑗 + ℎ´ 𝑡 𝑘
𝑑
𝑑
𝑑
𝑟´ 𝑡 =
𝑡 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑖+
𝑡 cos 𝑡 𝑗 +
𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡

𝑘

= 𝑠𝑒𝑛 𝑡 + 𝑡 cos 𝑡 𝑖 + cos 𝑡 − 𝑡 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑗 + 1𝑘
∴ 𝑟´ 𝑡 = 𝑠𝑒𝑛 𝑡 + 𝑡 cos 𝑡 𝑖 + cos 𝑡 − 𝑡 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑗 + 1𝑘 = 𝑠𝑒𝑛 𝑡 + 𝑡 cos 𝑡 , cos 𝑡 − 𝑡 𝑠𝑒𝑛 𝑡, 1

1
2

DADA LAFUNCION VECTORIAL 𝑟 𝑡 = 𝑡 3 𝑖 + 𝑡 2 𝑗, HALLAR:
a) 𝑟 ′ ′ 𝑡

b) 𝑟′ 𝑡 ∙ 𝑟′′ 𝑡
SOLUCION:

COMO ESTAMOS MANEJANDO DERIVADAS (LOGICO) EL EJERCICION NOS PIDE QUE DERIVEMOS
DOS VECES (EN EL CASO DEL INCISOb), COMENCEMOS CON LA SOLUCION:

SOLUCION DEL INCISO a)
𝑟 𝑡 =

𝑡 3𝑖

1 2
+ 𝑡 𝑗
2

𝑟 ′ 𝑡 = 3𝑡 2 𝑖 + 𝑡𝑗
𝑟 ′′ 𝑡 = 6𝑡 𝑖 + 𝑗

SOLUCION DEL INCISO b)
𝑟 ′′ 𝑡 ∙ 𝑟 ′′

𝑡

= 3𝑡 2 𝑖 + 𝑡𝑗...