Funciones vectoriales

FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL
[Versión preliminar]

Prof. Isabel Arratia Z.

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_____________ Cálculo III - Funciones vectoriales de una variable real

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Una función vectorial es cualquier función que tiene como imagen (rango) un conjunto de vectores de ℜn.

r : D ⊆ ℜ → ℜn t → r(t)
Es decir, para cada número tde D, r(t) es un único vector de ℜ n que lo podemos escribir r(t) = (f1(t), f2(t), . . . . , fn(t)). Por esta razón, es habitual que la función r se denote r = (f1, . . . . , fn), donde las funciones reales fi son llamadas funciones componentes de r. Ejemplos: 1. r(t) = (t, 3t), t ∈ ℜ , se expresa también con las ecuaciones paramétricas x = t, y = 3t. La imagen o trayectoria de r es una 2 rectaen el plano ℜ .

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2. F(t) = (cos t, sen t), t ∈ [0, 2 π] . En este caso, la trayectoria de F es la circunferencia centrada en (0, 0) de radio 1?

3. ¿Cuál es la trayectoria de G(t) = (sen t, cos t), con t ∈ [0, 2 π] ?____________________________________________________________

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Ejercicio: Con la ayuda de calculadora, describa la curva en el
espacio que definen las siguientes funciones vectoriales: a) r(t) = (1 – t, 2 + 4t, 3 + 2t) b) r(t) = (sen t, 3, cos t) c) r(t) = (2cos t, 2sen t, t)

Ejercicio: Determine el dominio de la función vectorial definida 2 porr ( t ) = (ln( t ), t , 1 - t )
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Limites y continuidad
Sea r : D

ℜ n, r = (f1, ….., fn) función vectorial, to un punto n de D y L = (a1, ….., an) ∈ ℜ . Entonces,
t→ to

lim r ( t ) = L

⇔

t→ to

lim

r(t) − L = 0 r(t) - L < ε

⇔ ∀ ε > 0, ∃ δ> 0 : 0 < t - t o < δ ⇒

Teorema:

t→ to

lim r ( t ) = L

⇔

t→ to

lim fi ( t ) = a i , ∀ i = 1, 2, ...., n

siempre que todos los límites de la derecha existan.

Ejercicio: Calcule, si existen, los siguientes límites,
a) b)
t→ 0 t→ 0

lim r ( t ) si r(t) = ( e

−t

,

et t

,

e t −1 ) t t t

3 lim r ( t ) si r(t) = ( sen ( t + π ), 3t + t , 5sen t )____________________________________________________________

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Sea r : D

ℜ n , r = (f1, ….., fn) función vectorial y to un
lim r ( t ) = r ( t o )

punto de D. La función r es continua en to si y sólo si
t→ to

Observe que, r continua en to ⇔
⇔
t→ to

lim fi ( t ) = fi (t o ) , ∀ i = 1, 2, ...., n en t o , ∀ i =1, 2,...., n

fi continua

Ejemplos: 1. f(t) = (3t, 1/t) es continua en to, ∀ t o ∈ ℜ − {0} 2. r(t) = (t, et, arcsen t) es continua en [-1, 1].
π 3. r(t) = (sen t, cos t, tan t) no es continua en t o = 2 .
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Derivadas e integrales
Sea r = (f1, …..,fn) función vectorial. La derivada de r en t es:
r'(t) = dr r(t + h) − r(t) = lim dt h → 0 h
r(t+h)-r(t)

siempre que este límite exista. Interpretación geométrica: Sea C una curva en el espacio ℜ 3 dada por la función vectorial r, es decir, C está formada por la punta del vector en movimiento r(t). El vector r(t+h)-r(t) tiene 1 la misma dirección que h (r ( t + h) − r ( t )) . Si h tiende acero, este vector se acerca a uno que está en la recta tangente a la curva en el punto P determinado por r(t).

r’(t) P r(t)

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El vector r’(t), cuando existe y es distinto de cero, se llama vector tangente a la curva C en el punto P. Y r' (t) el vector T...