FUNCIONES VECTORIALES

FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL

Las funciones con las que se ha trabajado hasta el momento son funciones reales de una variable real (su rango es un subconjunto de los reales). Se estudiarán en este capítulo funciones de una variable real pero cuyo rango es un conjunto de vectores. Este tipo de funciones son las que se utilizan para describir la trayectoria de un objeto.

1.Funciones vectoriales
1.1. Definición
Una función vectorial de una variable real en el espacio es una función cuyo dominio es un conjunto de números reales y cuyo rango es un conjunto de vectores del espacio, es decir, es una función del tipo

donde son funciones reales de variable real , llamadas funciones componentes de .
Nota: Si la función vectorial describe el movimiento de unapartícula, el vector señala su posición en el instante , en estos casos representa la variable tiempo.
Ejemplo 1:
Ejemplo 2:

1.2 Dominio de una función vectorial
Esta dado por la intersección de los dominios de sus funciones componentes, es decir, si entonces
Ejemplo: Si el dominio de será

1.3 Límite y continuidad de una función vectorial
Sea la función vectorial se definesiempre que existan los límites de las funciones componentes.
Ejemplo: Si entonces

Si se dice que es continua en si
Teniendo en cuenta las definiciones de límite y continuidad resulta:
“La función vectorial es continua en si y solo si sus funciones componentes son continuas en ”

1.4 Representación gráfica de una función vectorial
Sea la función vectorial
Para cada se obtiene unvector , que es el vector posición del punto . Si la función vectorial es continua en , es decir sus funciones componentes f, g y h son continuas en , define una curva C en el espacio formada por los extremos del vector donde t varía de a a b.









Entonces la curva C es el conjunto de todos los puntos del espacio tal que
, a estas ecuaciones se las llama ecuaciones paramétricas dela curva C y t es el parámetro.
Cuando se grafica una curva descrita por una función vectorial , cada punto de la misma (extremo del vector ) queda determinado por un valor elegido para el parámetro t. Al trazar los puntos resultantes de valores crecientes de t, la curva se va trazando en una dirección específica, en este caso se dice que la curva está orientada positivamente.

Ejemplo 1: Seacon , cómo es continua en define una curva C en el espacio. Las ecuaciones paramétricas de C son

Estas son las ecuaciones paramétricas de una recta que contiene al punto y es paralela al vector .
Ejemplo 2: Sea con , cómo es continua en define una curva C en el espacio, cuyas ecuaciones paramétricas son (*)
Veamos cual es la curva C definida por la función vectorial .Para ello consideremos las dos primeras igualdades de las ecuaciones (*)
, de donde y sumando miembro a miembro resulta
, esta ecuación en el espacio es la de un cilindro circular cuyo eje es el eje “z”, entonces la curva C está contenida en dicho cilindro. La curva que se obtiene es un espiral alrededor del cilindro y se la llama hélice.
Nota: se ha definido función vectorial de unavariable real en el espacio, en forma similar se puede definir función vectorial de un variable real en el plano y también en el espacio n-dimensional . Para estas funciones vectoriales también se definen los conceptos de límite y continuidad en forma similar a las definiciones dadas para funciones vectoriales en el espacio. Para el caso particular de una función vectorial en el plano, si la misma escontinua en un intervalo su representación gráfica es una curva plana C determinada por los puntos extremos de los vectores que se obtienen al variar t en I. Si con , las ecuaciones paramétricas de la curva C son
Ejemplo 3: Sea con, cómo es continua en define una curva C en el plano, cuyas ecuaciones paramétricas son
Para determinar cuál es la curva C, elevando ambos miembros de las...