funciones y ecuaciones lineales


FUNCIONES Y ECUACIONES LINEALES.

El objetivo de esta unidad es emplear las funciones y ecuaciones lineales en la solución de problemas que se presentan en el entorno académico, personal y social.
Identificar elementos de las funciones lineales a partir de representaciones tabulares, gráficas y algebraicas en el ámbito personal y social.

SISTEMA DE COORDENADO CARTESIANOEJEMPLO
Localizar cada uno de los siguientes puntos en la grafica:
A (-3,2) B (3-,2) C(-2,-2) D(3,0) E(0,-2) F(3.27)

SOLUCIÓN:
Para localizar el punto A (-3,2), comenzamos en el origen y vamos ala izquierda de tres unidades y luego dos unidades hacia arriba. Un procedimiento semejante permitirá localizar otros puntos. Nótese que la localización del punto F si es ¨aproximadamente¨ (II 3.27)Ejemplo

Trazar una grafica que represente las soluciones de cada una de las siguientes ecuaciones.

y = 2x
y =2x+3
x/2+2y/3=4

Soluciones
El procedimiento fundamental es hallar un número de puntos sobre la gráfica y luego trazar una recta a través de ellos. Para encontrar estos puntos seleccionamos al azar algunas soluciones de la ecuación y las combinamosen una tabla.

a) y=2x


x
0
1
2
4
-1
-2
-3
y
0
2
4
8
-2
-4
-6












Para determinar las soluciones, escogemos un valor para “x” y lo sustituimos en la ecuación para hallar un valor correspondiente de “y”. Por ejemplo si x=0, entonces y=0, si x=5 entonces y=2(5)=10. También podríamos haber seleccionado un valor para “y” y luego determinar el valorcorrespondiente de “x”


b) y=2x + 3

x
0
1
2
-1
-2
-3/2
y
3
5
7
1
-1
0














c)


x
0
8
4
2
-1
y
6
0
3
9/2
27/4










GRÁFICAS DE ECUACIONES LINEALES
La gráfica de las soluciones de cualquier ecuación de la forma
y = mx + b

O más generalmente,

ax + by = c
Donde a y b no son ambas iguales a cero, es una línea rectaEjemplo
La compañía ZARDOS está planeando producir pizzas cuadradas. A la compañía le costará $2hacer cada pizza y las venderá a $5 cada una.

Escribir una ecuación que describa la ganancia por la venta de pizzas.
Graficar la ecuación
¿Cuánto se puede ganar con 50 pizzas?
¿Cuántas pizzas deberán ser vendidas en un día para tener una ganancia de $300?

Soluciones
Sea x el número de pizzasvendidas.
Ganancia= Ingreso-Costo
P=5x-2x
P=3x












En la gráfica observamos que 50 pizzas darán una ganancia de $150. La ecuación da p=3 (50)= $150
En la gráfica observamos que 100 pizzas darán una ganancia de $300, y de la ecuación tenemos
300=3x, o sea, x=100


Para cualquier recta no vertical, la pendiente de la recta es
Para cualesquiera dos puntos (x1,y1)y (x2,y2) sobre la recta


Ejemplo
Hallar la pendiente de las rectas indicadas en cada caso




















c) y = 2x+1 d) 3y+6x=12

Soluciones:

Sea
(-2,0)= (x1,y1)

(4,8)= (x2,y2)

Entonces

Pendiente =

Pendiente =

Pendiente =

Nota: No importa a cual punto le llamamos (x1,y1) . Esto es si (x1,y1)= (4,8) y si (x2,y2)= (-2,0),entonces
Pendiente =
Sea
(x1,y1)= (4,0)
(x2,y2) = (0,3)

Entonces

Pendiente =

Pendiente =

Podemos elegir cualquiera dos puntos sobre la recta y=2x + 1. Las intercepciones servirán muy bien, (0,1) & (-1/2,0).

Sea
(x1,y1) = (0,1)
(x2,y2) = (-1/2,0)


Entonces

Pendiente =

Pendiente = 2

Notase que la pendiente m es el coeficiente de 2x. Recuérdese que la formapendiente intercepción de una recta es y= mx+b. De aquí la pendiente= 2 = m y la ordenada y de la intercepción en el eje y es 1, que es b en la ecuación.

Elegimos cualesquiera dos puntos de la recta 3y+6x =12, digamos (0,4) y (1,2).

Sea
(x1,y1)=(0,4)
(x2,y2)=(1,2)

Entonces

Pendiente =

Escribamos 3y+6x=12 en la forma y= mx + b resolviendo para y:
3y + 6x = 12
3x = -6x + 12...