funciones y ecuaciones

Ecuaciones

Ecuaci´n cuadr´tica
o
a

Ejercicios resueltos

1. Resolver la ecuaci´n: (2x − 3)(x + 4) = 21(x − 2)
o
Soluci´n:
o
⇐⇒

2x2 + 5x − 12 = 21x − 42

⇐⇒

(2x − 3)(x + 4) = 21(x − 2)

x2 − 8x + 15 = 0


coeficientes de la ec. cuadr´tica:
a
 a = 1, b = −8, c = 15



 Discriminante
= (−8)2 − 4 · 1 · 15 = 4 > 0
−(−8) ±

(−8)2 − 4 · 1 · 15
2·1

⇐⇒

x=⇐⇒

√
8± 4 8±2
=
x=
2
2

⇐⇒

x=5 ∨ x=3

Respuesta:
Las soluciones de la ecuaci´n son:
o

x = 5, x = 3.

Conjunto soluci´n: S = {5, 3}.
o

2. Resolver la ecuaci´n: 8(2x + 1)(x − 5) = −121
o
Soluci´n:
o
8(2x + 1)(x − 5) = −121

⇐⇒

16x2 − 72x − 40 = −121

⇐⇒

16x2 − 72x + 81 = 0

4

Ecuaciones - Ecuaci´n cuadr´tica
o
a

Ejercicios resueltos

5

coeficientes de la ec. cuadr´tica:
a
 a = 16, b = −72, c = 81



 Discriminante
= (−72)2 − 4 · 16 · 81 = 0
⇐⇒

√
72 ± 0 9
=
x=
32
4

Respuesta:
9
La ecuaci´n tiene soluciones reales e iguales: x1 = x2 = .
o
4
9
Conjunto soluci´n: S =
o
.
4

3. Resolver cada ecuaci´n:
o
(a) 3 − x2 = 2x2 − 24

( b) 4x(x + 5) = 5(4x − 5)

Soluci´n:
o
(a) 3 − x2 = 2x2 − 24

⇐⇒3x2 − 27 = 0

⇐⇒

x2 = 9

⇐⇒

x = ±3.

Respuesta:
Las soluciones de la ecuaci´n son: x = ±3.
o
(b) 4x(x + 5) = 5(4x − 5)

⇐⇒

4x2 + 25 = 0 . No tiene soluciones reales.

Respuesta:
El conjunto soluci´n de la ecuaci´n es:
o
o

Inst. de Matem´tica y F´
a
ısica

S = ∅.

Universidad de Talca

Ecuaciones - Ecuaci´n cuadr´tica
o
a

Ejercicios resueltos

6

4.Resolver cada ecuaci´n:
o
(a) 12x2 = 27x
4x2 + 25x
=0
(b)
81
(c) 3x(x − 5) = 7(x + 5)(x + 2) − 70
Soluci´n:
o
(a) 12x2 = 27x

⇐⇒

x(12x − 27) = 0

⇐⇒

x = 0 ∨ x = 9/4

Respuesta:
Las soluciones de la ecuaci´n son: x = 0, x = 9/4.
o
4x2 + 25x
(b)
= 0 ⇐⇒ 4x2 + 25x = 0 ⇐⇒
81
⇐⇒ x = 0 ∨ x = −25/4

x(4x + 25) = 0

Respuesta:
Las soluciones de la ecuaci´n son: x = 0, x =−25/4.
o
(c) 3x(x − 5) = 7(x + 5)(x + 2) − 70 ⇐⇒ 3x2 − 15x = 7x2 + 49x
⇐⇒ 4x2 + 64x = 0
⇐⇒ x = 0 ∨ x = −16
Respuesta:
Las soluciones de la ecuaci´n son: x = 0 ∨ x = −16
o

5. Resolver cada ecuaci´n:
o
(a) (2x − 31)(x + 67) = 0

(b) x(x − 2) = x + 28

(c) 7x − 9 = 1 + 3x2

Inst. de Matem´tica y F´
a
ısica

Universidad de Talca

Ecuaciones - Ecuaci´n cuadr´tica
o
aEjercicios resueltos

7

Soluci´n:
o
(a) (2x − 31)(x + 67) = 0
⇐⇒

⇐⇒

2x − 31 = 0 ∨ x + 67 = 0

x = 31/2 ∨ x = −67

Respuesta:
Las soluciones de la ecuaci´n son: x = 31/2 ∨ x = −67
o
(b) x(x − 2) = x + 28 ⇐⇒ x2 − 3x − 28 = 0
Por Factorizaci´n:
o
2
x − 3x − 28 = 0 ⇐⇒ (x − 7)(x + 4) = 0
−4

⇐⇒

x=7∨x=

Aplicando la f´rmula:
o
√
3 ± 9 − 4 · (−28) 3 ± 121 3 ± 11
x=
=
=
.2
2
2
Luego, x = 7 o x = −4.
Respuesta:
Las soluciones de la ecuaci´n son: x = 7, x = −4.
o
(c) 7x − 9 = 1 + 3x2

⇐⇒

3x2 − 7x + 10 = 0.

Discriminante = 49 − 120 < 0
la ecuaci´n no tiene soluciones reales
o
Respuesta:
El conjunto soluci´n de la ecuaci´n es: S = ∅
o
o

Inst. de Matem´tica y F´
a
ısica

Universidad de Talca

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o
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8

6. Sin resolver cada ecuaci´n, determinar la naturaleza de sus ra´
o
ıces.
√
(a) x2 = 8x + 12 3
(b) 4x(3 − x) = 9
√
√
(c) 3x2 = 2(x − 3)
Soluci´n:
o
Ecuaci´n
o
(a)
(b)
(c)

Discriminante D
√
D = 64 + 48 3 > 0
D = 144 − 144 = 0
√
D = 2 − 12 6 < 0

Respuesta
tiene sus dos raices reales y distintas
tiene sus dos raices reales e iguales
no tieneraices reales

7. Deducir la f´rmula cuadr´tica que resuelve la ecuaci´n ax2 + bx + c = 0, mediante
o
a
o
la completaci´n del cuadrado de un binomio.
o
Soluci´n:
o
Ecuaci´n cuadr´tica:
o
a

ax2 + bx + c = 0

Multiplicar por 1/a:

b
c
x2 + x + = 0
a
a

Sumar −

c
a ambos lados:
a

Sumar a ambos lados

Inst. de Matem´tica y F´
a
ısica

b2
4a2

b
c
x2 + x = −...