Funciones y Limites

FUNCIONES

Definición formal de función

Una función es como una máquina: tiene una entrada y una salida. Y lo que sale está relacionado de alguna manera con lo que entra.
Una función relaciona cada elemento de un conjunto con un elemento exactamente de otro conjunto (puede ser el mismo conjunto).








"exactamente uno" significa que la función es univaluada. No devolverá 2o más resultados para la misma entrada. ¡Así que "f (2) = 7 o 9" no vale!
Cada elemento de "X" se relaciona con un elemento de "Y". Decimos que la función cubre "X" (relaciona cada elemento de)

También fíjate que en el dibujo de arriba hay dos elementos en "X" que se relacionan con el mismo elemento de "Y". No pasa nada. No hay ninguna regla contra esto. Y finalmente, fíjate en que algunoselementos de "Y" no se relacionan con nada. Eso también vale.

Esto son cosas normales entre funciones, pero algunos tipos de funciones cumplen reglas más estrictas, para saber más lee sobre inyectivo, sobreyectivo y biyectivo

La prueba de la línea vertical






En un gráfico, la idea de univaluada significa que ninguna línea vertical cruza más de una vez.
Si alguna cruzara más de unavez no sería una función.

Dominio, codominio y rango

En el dibujo de arriba

el conjunto "X" es el dominio,
el conjunto "Y" es el codominio, y
el conjunto de elementos de Y a los que llega alguna flecha (los valores verdaderos de la función) se llama rango o imagen.

En su forma más simple el dominio son todos los valores a los que aplicar una función, y el rango son los valores queresultan. Pero de hecho son conceptos importantes cuando se define una función








Hay nombres especiales para lo que puede entrar, y también lo que puede salir de una función:

Lo que puede entrar en una función se llama el dominio

Lo que es posible que salga de una función se llama el codominio

Lo que en realidad sale de una función se llama rango o imagen
Pares ordenadosPuedes escribir las entradas y salidas de una función como "pares ordenados", como (4,16).
Se llaman pares ordenados porque la entrada siempre va primero y la salida después.

Así que (4,16) significa que la función toma "4" y devuelve "16"

Y una función se puede definir como un conjunto de pares ordenados:

Ejemplo: {(2,4), (4,5), (7,3)} es una función que dice que "2 se relaciona con 4", "4se relaciona con 5" y "7 se relaciona con 3".
Fíjate también en que el dominio es {2,4,7} y el rango es {4,5,3}

Pero la función debe ser univaluada, esto se puede decir

"si contiene (a, b) y (a, c), entonces b tiene que ser igual a c"

Es otra manera de decir que una entrada "a" no puede dar dos resultados diferentes.

Ejemplo: {(2,4), (2,5), (7,3)} no es una función porque {2,4} y{2,5} quieren decir que 2 estaría relacionado con 4 y 5, o sea no es univaluada


Parte de la función

Lo que sale (el rango) depende de lo que pones (el dominio), pero TÚ defines el dominio.
De hecho el dominio es una parte esencial de la función. Un dominio diferente da una función diferente.
Ejemplo: una simple función como f(x) = x2 puede tener dominio (lo que entra) los números de contar{1,2,3,...}, y el rango será entonces el conjunto {1,4,9,...}




Y otra función g(x) = x2 puede tener como dominio los enteros {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}, entonces el rango será el conjunto {0,1,4,9,...}










Aunque las dos funciones toman la entrada y la elevan al cuadrado, operan en conjuntos diferentes de entradas, y por eso dan salidas diferentes.
 
 

También tienendiferentes propiedades.
Por ejemplo f(x) siempre da resultados distintos, pero g(x) puede dar la misma respuesta para dos entradas (como g(-2)=4 y g(2)=4)



Conclusión

una función relaciona entradas con salidas
una función toma elementos de un conjunto (el dominio) y los relaciona con elementos de un conjunto (el codominio).
las salidas (los verdaderos valores de la función) se...