Funciones y modelos matematicos

Tema 1
Funciones y modelos matemáticos
1.1 Definición de una función
Una función es un conjunto de pares ordenados de números (x,y), donde y , en los que no existen dos pares ordenados que tienen el mismo primer número. Al conjunto de valores admisibles de se le llama dominio de la función y al conjunto de los valores resultantes de se les llama contradominio (o ámbito) de la función.Simplificando la definición; una función es una correspondencia entre dos magnitudes (numéricas o no numéricas).
Ejemplos:
• La distancia recorrida por un automóvil depende del tiempo que lleva circulando.
• La demanda de un determinado producto depende de su precio.
• Los ciudadanos y los países del mundo están relacionados por la nacionalidad.
• La producción de una fábrica puede dependerdel número de máquinas que se usen.
• Cada país esta relacionado con una capital.

Para nuestro propósito limitaremos las cantidades en la relación a que sean números reales.
Una función de X a Y es una función uno-a-uno si, para cualquier en X, entonces en Y.

1.2 Formas de representar una función

Existen diversas maneras de visualizar una función, las más usuales son mediante lascuatro representaciones siguientes:

• Descripción verbal.
• Representación tabular.
• Expresión algebraica.
• Visualmente

Descripción verbal. Por ejemplo, la función que indica la relación existente entre el peso de las manzanas y el precio que hay que pagar por ellas, suponiendo que el kilo de manzanas cuesta 10 pesos.

Representación tabular. Una manera importante de representar unafunción es mediante una tabla. Es lo que hacemos, normalmente, cuando vamos a representar gráficamente una función: darle valores y formar una tabla con ellos. La tabla puede construirse de manera horizontal o vertical.

Expresión algebraica. En Cálculo la principal manera de representar una función es mediante una ecuación que liga a las variables (dependiente e independiente). Para evaluar lafunción se aísla la variable dependiente en la parte izquierda de la ecuación, con objeto de obtener la relación funcional. Así, si escribimos la ecuación 3x + 2y = 1 de la forma:
, o de la forma
Donde x es la variable independiente y y es la variable dependiente.
Otra representación usada generalmente es

Visualmente.
Gráfica. Una manera de visualizar una función es por medio de unagráfica. La gráfica de una función de una variable, por lo general, es una curva en el plano. Sin embargo, no toda curva del plano es la representación de una función. Para que una curva represente una función no puede tener dos puntos en la misma vertical, ya que para que una correspondencia entre dos magnitudes sea función, la imagen tiene que ser única. Por lo tanto, una recta vertical puedecortar a la gráfica de una función a los sumo una vez (prueba de la recta vertical ).
Algunos ejemplos son:

Diagrama de flechas. Existe otra manera de visualizar una función, sobre todo a nivel teórico, como una proyección de una parte del conjunto A hacia una parte del conjunto B. Para visualizarla se utiliza un diagrama de flechas.

La función como una máquina. Existe otra manera devisualizar una función, concebida como una transformación, especialmente útil para comprender algunas propiedades teóricas, y que consiste en imaginar la función como una máquina que acepta elementos de Df como materia prima produciendo elementos correspondientes de Rf como producto final.

Ejemplos:
1.- Indique en cual de las siguientes expresiones algebraicas la variable puede ser definida comouna función de la variable .
1.-
2.-
3.-
4.-
5.-
2.- Determine el dominio y el contradominio de las siguientes funciones
1.-
2.-
3.-
4.-
5.-
6.-
7.-
8.-
9.-
10.-
1.3 Funciones pares e impares
Una función se dice que es par si

Una función se dice que es impar si


Nota: En las funciones pares al cambiar x por −x se obtiene la misma...