Funciones Y Modelos

1 FUNCIONES Y MODELOS
1.1 CUATRO FORMAS DE REPRESENTAR UNA FUNCION
Definición de función
 Una FUNCION es una regla que asigna a cada elemento x de un
conjunto D exactamente un elemento, llamado f(x) , de un conjunto
E.
El conjunto D se llama DOMINIO, el conjunto E se llama RANGO. El
numero f(x) es el valor de f en x, y se lee “f de x”.
El RANGO de f es el conjuntote todos los valoresposibles de f(x)
conforme x varia en todo el DOMINIO.
Se tiene cuatro maneras posibles para representar una función:
1)
2)
3)
4)

VERBALMENTE (mediante una descripción con palabras)
NUMERICAMENTE (con una tabla de valores)
VISUALMENTE (mediante una grafica)
ALGEBRAICAMENTE (por medio de una formula explicita)

Prueba de la línea vertical
 Una curva en el plano xy es la grafica de unafunción de x si y solo si
ninguna línea vertical se intersecta con la curva mas de una vez.

SIMETRIA
 f es un función PAR si f(-x) = f(x)
para todo x de su dominio.
Su grafica es simétrica respecto al EJE x.
 f es un función IMPAR si f(-x) = -f(x) para todo x de su
dominio. Su grafica es simétrica respecto al origen de coordenadas.

FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES
 Se dice queuna función f es creciente en un intervalo I si
f(x1) < f(x2)
siempre que x1 < x2 en I
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 Se dice que es decreciente sobre I si
f(x1) > f(x2)
siempre que x1 < x2 en I

1.2 MODELOS MATEMATICOS: UN CATALOGO DE
FUNCIONES BASICAS
Un modelo matemático es una descripción de un fenómeno del mundo real. El
propósito de este modelo es entender y hacer predicciones con respectoal
comportamiento.

Modelos lineales
La grafica es una recta, y su formula es de la forma y  f ( x)  mx  b
Polinomios
A una función P se le llama polinomio se

p( x)  an x n  an 1 x n1  ...  a2 x 2  a1 x  a0
Función de potencia
Son las funciones de la forma
Donde a es constante.

f ( x)  x a

Función racional
Es una razón entre dos polinomios

f ( x) 

P ( x)
Q(x)

donde P y Q son polinomios. El dominio consiste en todos los valores de x
tales que Q( x)  0
Funciones algebraica
Puede construirse usando operaciones algebraicas
Funciones trigonométrica
Sus funciones más comunes sen( x), cos( x ), tan( x)
Funciones exponencial
Son de la forma

f ( x)  a x
Donde a es una constante positiva.

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Funciones logarítmicas
Son lasinversas de las funciones exponenciales, y de la forma

f ( x)  log a x
Donde a es una constante positiva.
Funciones trascendentes
Estas funciones no son algebraicas, incluyen las trigonométricas,
exponencial, logarítmica, etc.

1.3 FUNCIONES NUEVAS A PARTIR DE FUNCIONES
ANTIGUAS
TRANSFORMACION DE FUNCIONES
Desplazamientos verticales (c > 0)
 y  f ( x)  c desplaza la grafica y  f( x) c unidades hacia arriba.
 y  f ( x)  c desplaza la grafica y  f ( x) c unidades hacia abajo.
Desplazamientos horizontales (c > 0)
 y  f ( x  c) desplaza la grafica y  f ( x) c unidades a la izquierda.
 y  f ( x  c) desplaza la grafica y  f ( x) c unidades a la derecha.
Alargamientos verticales (c > 1)
 y  cf ( x) alárguese la grafica y  f ( x) verticalmente c factores. y  1 c f ( x) comprímase la grafica y  f ( x) verticalmente c
factores.



Alargamientos horizontales (c > 1)
 y  f (cx) comprímase la grafica y  f ( x) horizontalmente c
factores.


 c

y f x

alárguese la grafica y  f ( x) horizontalmente c factores.

Reflexiones
 y   f ( x) refleje la grafica y  f ( x) respecto al eje x.
 y  f (  x) refleje la grafica y  f( x) respecto al eje y.
Otra transformación de cierto interés es tomar el valor absoluto de una
función. Si y  f ( x) la parte de la grafica y  f ( x) que se encuentra
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arriba del eje x seguirá siendo la misma, pero la sección debajo del eje x
se refleja respecto a dicho eje.

Combinación de funciones
Se puede combinar dos funciones f y g para formar nuevas...