FUNCIONES Y RELACIONES































Definición de Función
Una Función es una relación a la cual se añade la condición de que a cada valor del Dominio le corresponde uno y sólo un valor del Recorrido, podemos deducir que todas las funciones son relaciones, pero no todas las relaciones son funciones.

También debemos agregar que toda ecuación es una Relación, pero no toda ecuación es una Función.

Laspartes de una función se llaman entradas y salidas. Una entrada es la cantidad independiente que no se repite. La salida es la cantidad dependiente. El valor de la salida depende del valor de la entrada. Para cada entrada, hay una salida única. En el caso de aventar la pelota al el aire, el tiempo es la entrada y la altura es la salida.

EJEMPLO
Dados dos conjuntos A y B una relación definida de Aen B es un conjunto de parejas ordenadas (par ordenado) que hacen verdadera una proposición; dicho de otro modo, una relación es cualquier subconjunto del producto cartesiano A x B

Si A = {2, 3}  y B = {1, 4, 5}, encontrar tres relaciones definidas de A en B.

Solución
El producto cartesiano de A x B está conformado por las siguientes parejas o pares ordenados:                                        A x B = {(2, 1), (2, 4), (2, 5), (3, 1), (3, 4), (3, 5)}
Y cada uno de los siguientes conjuntos corresponde a relaciones definidas de A en B:
                                        R1 =  {(2, 1), (3, 1)}
                                        R2 =  {(2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5)}
                                        R3 =  {(2, 4), (3, 5)}

La relación R1 se puede definir como el conjunto de pares cuyo segundo elemento es1, esto es, R1 =  {(x, y) / y = 1}.

La relación R2 está formada por los pares cuyo primer componente es menor que el segundo componente, R2 = {(x, y) / x < y}

Y la relación R3 está conformada por todos los pares que cumplen con que el segundo componente es dos unidades mayor que el primer componente, dicho de otro modo, R3 =  {(x,  y) / y = x + 2}

Así, se puede continuar enumerando relacionesdefinidas a partir de A x B. Como se puede ver, la regla que define la relación se puede escribir mediante ecuaciones o desigualdades que relacionan los valores de x e y. Estas reglas son un medio conveniente para ordenar en pares los elementos de los dos conjuntos.

Graficando Funciones
Cuando la cantidad independiente (entrada) y la cantidad dependiente (salida) son ambas números reales, unafunción puede ser representada por una gráfica de coordenadas. El valor independiente se grafica en el eje x y el valor dependiente es trazado en el eje y. El hecho de que cada valor de entrada tiene exactamente un valor de salida significa que las gráficas de funciones tienen ciertas características. Para cada entrada (coordenada x) en la gráfica, habrá exactamente una salida (coordenada y).
 
Porejemplo, la gráfica de ésta función, dibujada en azul, parece un semicírculo. Sabemos que y es una función de x porque por cada coordenada x hay exactamente una coordenada y.
 
Si trazamos una línea vertical a través de la gráfica, sólo intersecta la función una vez para cada valor de x. Esto es válido sin importar por dónde la línea es trazada. Dibujar una línea sobre una gráfica es una buena formade determinar si nos muestra una función.
 
Compara la gráfica anterior con ésta, que parece un círculo azul. La relación no puede ser una función, porque a cada coordenada x le corresponden dos coordenadas y.
 

 
Cuando una línea vertical es trazada sobre la gráfica de ésta relación, la intersecta en más de un valor de x. Si la gráfica muestra dos o más intersecciones con una línea vertical,entonces una entrada (coordenada x) puede tener más de una salida (coordenada y), y y no es una función de x. ¿Es la relación mostrada en la gráfica una función?
 
Definición Matemática de Relación
En matemática, Relación es la correspondencia de un primer conjunto, llamado Dominio, con un segundo conjunto, llamado Recorrido o Rango, de manera que a cada...