Funciones

Tema 5

Funciones de varias variables
Supongamos que tenemos una placa rectangular R y determinamos la temperatura T en cada uno de sus puntos. Fijado un sistema de referencia, T es una funci´n que depende de las coordenadas (x, y) de cada uno de los o puntos de R. La funci´n que describe este fen´meno o o T = f (x, y), (x, y) ∈ R

es un ejemplo t´ ıpico de una funci´n de dos variables; eneste caso, las cooro denadas del punto donde evaluamos la temperatura. No es dif´ encontrar ıcil ejemplos de fen´menos que a la hora de describirlos necesitemos utilizar o funciones de tres, cuatro o m´s variables. a La definici´n formal de funci´n de varias variables es la siguiente: o o Definici´n 5.1 Sea D un subconjunto de Rn . Una funci´n f de D en R o o se llama un campo escalar o una funci´nreal de n variables. La funci´n f o o asigna, pues, a cada vector x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ D ⊆ Rn un valor real f (x). Las funciones de varias variables son esenciales en muchos problemas importantes de la ciencia, la ingenier´ la econom´ etc... De hecho, cualquier ıa, ıa, f´rmula que proporcione una relaci´n entre una magnitud a partir de los vao o lores de otras magnitudes es, en realidad,una funci´n. Vamos a ver algunos o ejemplos:

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Ejemplo 5.1 La magnitud de la fuerza gravitatoria ejercida por un cuerpo de masa M situado en el origen de coordenadas sobre un cuerpo de masa m situado en el punto (x, y, z) viene dada por F (x, y, z) = x2 GmM + y2 + z2

La ley de los gases ideales dice que la presi´n P de un gas es una o funci´n del volumen V y la temperatura T seg´n laecuaci´n o u o P = donde c es una constante. La desviaci´n S en el punto medio de una viga rectangular cuando o est´ sujeta por ambos extremos y soporta una carga uniforme viene a dada por CL3 S(L, w, h) = wh3 donde L es la longitud, w la anchura, h la altura y C una constante. cT V

Nota: El dominio de un campo escalar f (denotado por Dom(f )) es el subconjunto de Rn donde est´ definida lafunci´n. En muchas ocasiones, a o una funci´n viene dada por una expresi´n algebraica y su dominio no viene o o dado expl´ ıcitamente. Entendemos, en este caso, que el dominio es el conjunto de todos los puntos para los que la definici´n de f tiene sentido. o La imagen o recorrido de un campo escalar (denotado por Im(f )) es el subconjunto de R dado por todos los valores que toma la funci´n f ; es decir, oIm(f ) := {f (x) : x ∈ Dom(f )} La gr´fica de f es el subconjunto de Rn+1 , definido como a graf(f ) := {(x, f (x)) : x ∈ Dom(f )} Evidentemente, s´lo podemos representar gr´ficamente las funciones de una o a variable (su gr´fica est´ en R2 ) y las funciones de dos variables (su gr´fica a a a 3 ). est´ en R a 102

5.1.

Representaci´n de funciones o

Una forma de obtener informaci´n sobre elfen´meno descrito por una funo o ´ ci´n de dos variables es estudiar su representaci´n gr´fica. Esta no es una o o a tarea sencilla pero disponemos de algunos m´todos que permiten hacernos e una idea de su comportamiento. Se trata de cortar la gr´fica de la funci´n a o con planos paralelos a los planos coordenados. Empezaremos con planos verticales. Definici´n 5.2 Para una funci´n f (x, y), la funci´nque se obtiene al mano o o tener la variable x fija y variando la variable y se llama secci´n transversal o a o de f con x fija. An´logamente se define una secci´n transversal de f con y fija. Ejemplo 5.2 Vamos a calcular la secci´n transversal, para x = 2, de la o o funci´n f (x, y) = x2 + y 2 . Soluci´n: Tal y como se observa en la Figura 5.1, la secci´n transversal o o es la curva obtenida alcortar la gr´fica de f (x, y) con el plano vertical de a ecuaci´n x = 2. o

Figura 5.1: Secci´n transversal con x fija o 103

La secci´n transversal que hemos de encontrar es, precisamente, f (2, y) = o 4+y 2 . Por tanto es una funci´n de y, digamos g, definida como g(y) = 4+y 2 . o Se trata de una par´bola sim´trica respecto del eje x. a e En general, obtenemos las secciones transversales de f...