Funciones

Página del Colegio de Matemáticas de la ENP-UNAM

Funciones

Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

FUNCIONES UNIDAD I
Las magnitudes que caracterizan un fenómeno dado pueden quedar completamente determinadas por los valores de otras. Estas interdependencias fueron las que dieron origen al concepto de función porque gran parte de los fenómenos que se observan en la naturaleza se puedenrelacionar unos con otros a través de correspondencias.

I.1 CONCEPTOS BÁSICOS DE FUNCIONES
Una función se refiere a una asignación o correspondencia de un conjunto a otro. Su definición formal es la siguiente: Una función es una terna constituida por: 1. Un conjunto A llamado dominio de la función 2. Un conjunto B llamado codominio de la función 3. Una regla de correspondencia que posee trescaracterísticas a) A todo elemento del dominio se le puede asociar un elemento del codominio b) Ningún elemento del dominio puede quedarse sin un asociado en el codominio c) Ningún elemento del dominio puede tener más de un asociado en el codominio. Se denota como: f : A → B

Rango

* * *
A

* * *
B

*
Dominio

*
Codominio

El dominio, denotado por D f , de una función es el conjuntode valores que puede tomar la variable independiente, es decir, son todos aquellos números para los cuales la función tiene sentido (también se conoce como campo de variación). Al elemento que se obtiene en el codominio después de aplicar la regla de correspondencia a un elemento del dominio recibe el nombre de imagen. Al conjunto de todas las imágenes se le conoce como 1 rango , denotado por R f.

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Al rango también se le conoce como recorrido.

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Funciones

Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

Ejemplo. Sea un conjunto de siete muchachos y otro conjunto sus edades respectivas en años:
NOMBRE Alberto Clarissa Diana Ernesto Fabiola Karen Manuel EDAD 17 16 19 17 16 19 15

La tabla muestra que a cada muchacho lecorresponde una edad y cumple con las condiciones de función, por lo que su dominio es: { Alberto, Clarissa, Diana, Ernesto, Fabiola, Karen, Manuel } y el rango es { 15,16,17,19 }.

x como un elemento en el dominio de la función, entonces el elemento en el recorrido que f asocia con x , es la imagen de x bajo la función f . Esto es: f (Manuel) = 15, f (Clarissa) = f (Fabiola) = 16, f (Alberto) = f(Ernesto) = 17 y f (Diana) = f (Karen) = 19.
Si se denota a En términos de variables, una función también se puede definir de la siguiente forma: Se dice que una variable y es función de otra x , cuando ambas están relacionadas de forma que para cada valor de x perteneciente a su campo de variación, le corresponde sólo uno de y . La variable y recibe el nombre de variable dependiente, mientras quex es la variable independiente. Lo anterior puede expresarse simbólicamente de la siguiente forma:

y = f (x)

Esta manera de representar una función es especialmente útil, pues se puede saber con certeza el valor que toma la variable dependiente para cualquier valor que tome la variable independiente. Esto posibilita la construcción de una tabla de valores de la misma y su respectiva gráfica,debido a que cada pareja de valores x, y de la tabla que se calcule representa un punto del plano cartesiano.

(

)

Por tanto, una función puede ser presentada de múltiples maneras: una expresión matemática del tipo y = f x , una tabla de valores, una gráfica o incluso una frase que exprese la relación entre ambas variables2.

( )

Para encontrar el dominio y el rango de una función esnecesario efectuar una inspección particular que analice su comportamiento, para lo cual se recomienda: para el dominio, que esté despejada la variable dependiente y para el rango que lo esté la variable independiente. A partir de esas expresiones, se efectúa un análisis que consiste básicamente en determinar los valores reales de la variable no despejada que hacen reales los valores de la...