Funciones

FUNCIONES
Dados dos conjuntos A y B, llamamos función a la correspondencia de A en B en la cual todos los elementos de A tienen a lo sumo una imagen en B, es decir una imagen o ninguna.
Función real de variable real es toda correspondencia f que asocia a cada elemento de un determinado subconjunto de números reales, llamado dominio, otro número real.
f: D
xf(x) = y
El subconjunto en el que se define la función se llama dominio o campo existencia de la función. Se designa por D.
El número x perteneciente al dominio de la función recibe el nombre de variable independiente.
Al número, y, asociado por f al valor x, se le llama variable dependiente. La imagen de x se designa por f(x). Luego
y= f(x)
Se denomina recorrido de una función al conjunto delos valores reales que toma la variable y o f(x).

• x

Conjunto inicial Conjunto final

Dominio Conjunto imagen o recorrido
El dominio es el conjunto de elementos que tienen imagen.
D = {x / f (x)}
El recorrido es el conjunto de elementos que son imágenes.
R = {f (x) / x D}

COMPOSICIÓN DE FUNCIONESSi tenemos dos funciones: f(x) y g(x), de modo que el dominio de la 2ª esté incluido en el recorrido de la 1ª, se puede definir una nueva función que asocie a cada elemento del dominio de f(x) el valor de g[f(x)].

(g o f) (x) = g [f(x)] = g (2x) = 3 (2x) +1 = 6x + 1
(g o f) (1) = 6 • 1 + 1 = 7
Dominio
D(g o f) = {x Df / f(x) Dg}

Propiedades:
 Asociativa:
f o (g o h) = (f o g) oh
 No es conmutativa.
f o g ≠ g o f
 El elemento neutro es la función identidad, i(x) = x.
f o i = i o f = f
FUNCIÓN INVERSA O RECÍPROCA
Se llama función inversa o reciproca de f a otra función f−1 que cumple que:
Si f(a) = b, entonces f−1(b) = a.

Podemos observar que:
El dominio de f−1 es el recorrido de f.
El recorrido de f−1 es el dominio de f.
Si queremos hallar el recorridode una función tenemos que hallar el dominio de su función inversa.
Si dos funciones son inversas su composición es la función identidad.
Las gráficas de f y f -1 son simétricas respecto de la bisectriz del primer y tercer cuadrante.

Hay que distinguir entre la función inversa, f−1(x), y la inversa de una función, .
Cálculo de la función inversa

1) Se escribe la ecuación de la funcióncon x e y.
2) Se despeja la variable x en función de la variable y.
3) Se intercambian las variables.

TIPOS DE FUNCIONES
Clasificación de funciones
I. Funciones algebraicas
En las funciones algebraicas las operaciones que hay que efectuar con la variable independiente son: la adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación.
Las funciones algebraicas pueden ser:
a)Funciones explícitas.-
Si se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución.
f(x) = 5x − 2
b) Funciones implícitas.-
Si no se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución, sino que es preciso efectuar operaciones.
5x − y − 2 = 0

I.1. Funciones polinómicas
Son las funciones que vienen definidas por un polinomio.


Su dominio es, es decir, cualquier número real tiene imagen.
i. Funciones constantes:
El criterio viene dado por un número real.

La función constante es del tipo:
o y = n
o La pendiente es 0.
o La gráfica es una recta horizontal paralela a al eje de abscisas.


ii. Funciones polinómica de primer grado:

Su gráfica es una recta oblicua, que queda definida por dos puntos de lafunción.
 Función afín:
La función afín es del tipo:
o m es la pendiente de la recta.
o La pendiente es la inclinación de la recta con respecto al eje de abscisas.
o Dos rectas paralelas tienen la misma pendiente.

o n es la ordenada en el origen y nos indica el punto de corte de la recta con el eje de ordenadas.

 Función lineal
La función lineal es del tipo:

Su gráfica es una línea...