Funciones

Cálculo I E.M.I. Ing. Eudal Avendaño 2010
Formas de Expresar una Función.

Forma Explicita. Se define así la forma común de expresar una función cuando la variable dependiente esta despejada.

F = {( x, y ) / y = f ( x) , x ∈ R}

y = x2 − 1 y = Sen(2 x + 4 )

y = ln( x + 1) y = e2 x + 3

Forma Implícita. Se define así cuando la variable dependiente no esta despejada en algunos casos esposible transformar a la forma explicita realizando operaciones.

F = {( x, y ) / f ( x, y ) = 0 ; ( x, y ) ∈ IR}
1.

x3 + y 2 =

x y

Sen( x + y ) + e x + y = ln x
x

2.

3

x 2 + y 2 = e y arcSen

x y

1

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Dominio e imagen de una función.-

y
y=d

y = f(x)

I M A G E N

y=c

DOMINIO
x=a x=b

x

DOMINIO : Se definecomo el conjunto de números reales formado por la variables x se denota :

D

f

= [a ; b ]

IMAGEN . Es el conjunto de números reales formados por la variable dependiente y se denota:

I

f

=

[a

;b

]
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DE LA GRAFICA DETERMINAR DOMIUNIO E IMAGEN

Para las siguientes funciones determinar dominio e imagen

y
3

2

1-4

-3

-2

-1 -1

1

2

4

5

x

-2

-3

3

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1.

Para la siguiente función

y = f ( x ) determinar:

a)

f (6 )

b)

f (− 3)

c)

f (3)

d)

f (− 1)

e)

f (1)

f) En que intervalos es constante

g) Dominio

h) Imagen

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Cálculo de Dominio Formaanalítica. Para determinar el dominio de una función o relación se debe considerar la forma de expresión de la función: Caso I. Si la función tiene una expresión polinomial o exponencial el dominio son todos los números reales también se puede decir de menos infinito a mas infinito

1. f ( x ) = 3 x3 − 5 x 2 + 6 x + 4

Df (− ∞,+∞ )

2. f ( x ) = e2 x + 3e x + 5

Df (− ∞,+∞ )

Caso II. Sila función tiene una expresión racional de la forma

y=

f( x ) g( x )

para determinar el

dominio se debe hacer el denominador diferente de cero esto quiere decir que la función del denominador igualo a cero encuentro los valores de x los cuales se debe excluir del dominio.

1. f ( x ) =

x3 + 3x − 1 x2 − x − 6 x2 − x − 6 ≠ 0 (x − 3)(x + 2) ≠ 0
x−3≠ 0 x≠3 x+2≠0 x ≠ −2

Df (− ∞ ; −2) U (− 2 ; 3) U (3 ; + ∞ )

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2. f ( x ) = x 2 − 3x + 1 x3 − 4 x x( x − 3)( x + 3) ≠ 0
x≠0 x ≠ +3 x ≠ −3

Df (− ∞ ; − 3) U (− 3 ; 0) U (3 ; + ∞ )

x 3. f ( x ) = 2 x +4

x 2 ≠ −4 x≠ ± −4 x ≠ 2i Df (− ∞ ; + ∞ )

Caso III. Si la función tiene una expresión irracional para determinar el dominio se debe considerar si es raíz de índice par oraíz de índice impar.

a) Raíz de Índice Impar El dominio es todo los números reales excepto si está en el denominador se considera el caso II

1. f ( x ) = 5 x 2 + x 2 + 3 x + 2

Df (− ∞ ; + ∞ )

2. f ( x ) =

3

x x+3

3

x+3 ≠0

;

x ≠ −3 ;

Df (− ∞ ; − 3) U (− 3 ; + ∞ )

b) Raíz de Índice Par.

1. y = x 2 − 9

; x2 − 9 ≥ 0

;

(x − 3)(x + 3) ≥ 0

resolviendométodo ley de los signos

Df (− ∞ ; 3) U (3 ; + ∞ )

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2. y = 4

x−3 x+2

x−3 ≥0 x+2

x ≠ −2

Df (− ∞ ; − 2) U (3 ; + ∞ )
Caso IV. Si la función tiene una expresión logarítmica entonces para determinar el dominio se debe considerar los conceptos básicos del logaritmo como la bese y el argumento.

y = log[g ( x ) ] f ( x ) 1. y = log3 ( x −4 )
x−4>0 x>4

[ ]

;

f( x ) > 0 ; g( x ) ≠ 1 ; g( x ) > 0

Df (+ 4;+∞ )

2. y = log (16 x − x 2 ) x 2 − x − 2

(

)

DOMINIO I x2 − x − 2 > 0

(x − 2)(x + 1) > 0
DOMINIO II 16 x 2 > 0 (− 1) x 2 − 16 < 0 (x + 4 )(x − 4) < 0
DOMINIO III 16 − x 2 ≠ 1

x 2 ≠ 15 x ≠ ± 15

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Df = D1 ∩D2 ∩D3

Df − 4 ; − 15 U − 15 ; − 1 U − 2...