Funciones

Función escalón unitario: Propiedades.
• Cambio de signo del argumento.
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• La derivada en el sentido de las distribuciones es la delta de Dirac.
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• Transformada de Laplace.
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• Límites.
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• Es la integral de la función delta de Dirac.
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función escalón considerando H(0) = 1/2
El valor de H(0) escausa de discusión. Algunos lo definen como H(0) = 0, otros H(0) = 1. H(0) = 1/2 es la opción usada más coherente, ya que maximiza la simetría de la función, y permite una representación de la misma a través de la función signo:
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Puede especificarse con un subíndice el valor que se va a usar para H(0), de la siguiente forma:
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Una forma de representar esta función es a través de laintegral
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FUNCIONES IRRACIONALES Las funciones irracionales son aquellas cuya expresión matemática f(x) presenta un radical:
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donde g(x) es una función polinómica o una función racional.
Si n es par, el radical está definido para g(x) ≥ 0; así que a los efectos de calcular el dominio de f(x) que contenga un radical, habrá que imponer la condición anterior al conjunto de laexpresión f(x).
Funciones irracionales son las que vienen expresadas a través de un radical que lleve en su radicando la variable independiente. Si el radical tiene índice impar, entonces el dominio será todo el conjunto R de los números reales porque al elegir cualquier valor de x siempre vamos a poder calcular la raíz de índice impar de la expresión que haya en el radicando. Pero si el radical tieneíndice par, para los valores de x que hagan el radicando negativo no existirá la raíz y por tanto no tendrán imagen y según la función irracional mencionada. Veamos el método para conseguir el dominio en este caso a través de unos ejemplos:
I)[pic]    Resolvemos la inecuación x +1 > 0; ==> x > -1;            [pic]
                                x+1 es una expresión positiva si x pertenece alintervalo [-1, +[pic]).
                                   
            Por lo tanto D(f) = [-1, +[pic]).
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II)[pic]Resolvemos la inecuación x2- 25 > 0; y obtenemos (x + 5)·(x - 5) >0; R nos queda dividido en tres zonas y probamos en cuál de ellas se da que el signo del radicando sea positivo. [pic]
                                                                                Por lo tantoD(g) = (-[pic], -5] U [+5, +[pic])
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III)[pic]Resolvemos la inecuación x2- 2x - 8 > 0; y obtenemos (x + 2)·(x - 4) >0; Observad que ahora la inecuación se plante con desigualdad estricta, esto es porque el radicando está en un denominador y por lo tanto no puede valer 0.
¿En que se traduce esto? Pues sencillamente en tener que excluir de las zonas donde el radicando sea positivo los extremos-2 y +4.
R nos queda dividido en tres zonas de nuevo y estudiando el signo del radicando obtenemos el dominio:
                                                            D(h) = (-[pic], -2) U (+4, +[pic])     (observad los extremos excluidos).

Función racional

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Función racional de grado 2:
y = (x2-3x-2) / (x2-4)
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Función racional de grado 3:
y = (x3-2x) /(2(x2-5))
La función racional es una función matemática expresada de la forma:
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donde P y Q son polinomios y x es una variable desconocida siendo Q un polinomio diferente de cero. Existe la posibilidad de encontrar valores de x tales que Q(x) sea igual a cero; sin embargo, una fraccion con un denominador igual a 0 no se puede desarrollar. Por este motivo las funciones racionales estándefinidas o tienen su dominio en todos los números que no anulan el polinomio denominador, es decir, que no hacen que el denominador sea 0. Una función racional está definida en todo el cuerpo de coeficientes si el denominador (Q(x)) no tiene raíces reales.
Las funciones racionales tienen diversas aplicaciones en el campo del análisis numérico para interpolar o aproximar los resultados de otras...