funciones

UNIDAD N° 1
Relaciones y Funciones

Par Ordenado

Definición:
Dos elementos a y b dados en un determinado orden, constituyen un par ordenado.
Para designar un par ordenado se usa la siguiente notación: (a,b) , donde a es el primer elemento y b es el segundo elemento del par.


Producto Cartesiano

Definición:
Sean A y B dos conjuntos, se define el producto cartesiano de A por B ylo indicamos AxB, al conjunto de pares ordenados (x,y), donde x pertenece al conjunto A e y pertenece al conjunto B.
Simbólicamente:
AxB = {(x,y) / xA , yB}

Ejemplo:
Sean los conjuntos: S = {a, b, c} , T = {1, 2} , entonces:
SxT = {(a, 1); (a, 2); (b, 1); (b, 2); (c, 1); (c, 2)}


Relación Binaria

Definición:

R es una relación entre A y B si y sólo si R es un subconjuntode AxB. O sea: R es una relación entre A y B sii R  AxB.


Ejemplo:

Sea A = {1; 2; 3} , B = {2; 4}

AxB = {(1,2); (1,4); (2,2); (2,4); (3,2); (3,4)}
R1 = {(x, y)  AxB / x  y} = {(2,2); (3,2)}
R2 = {(x, y)  AxB / x divide a y} = {(1,2); (1,4); (2,2); (2,4)}
R3 = {(x, y)  AxB / y = x+1 } = {(1,2); (3,4)}

Representación Gráfica

a) Diagramas de Venn

Se representan pordiagramas de Venn los conjuntos A y B. Se unen con flechas los elementos de A que están en relación con los elementos de B.
Para nuestro ejemplo R1




A B







b) Sistema Cartesiano


4


2 (2,2) (3,2) R1


1 2 3


Dominio de unaRelación

Definición:
Se llama dominio de una relación, al conjunto de las primeras componentes que integran los pares ordenados que pertenecen a la relación. Se indica con: DomR ó DR

Imagen de una relación

Definición:
Se llama imagen de una relación, al conjunto de las segundas componentes que integran los pares ordenados que pertenecen a la relación. Se indica con: Im R ó IREjemplo:
El dominio e imagen para cada una de las relaciones definidas en el ejemplo anterior es:

Dom R1 = { 2; 3} Im R1 = {2}



Relación Inversa

Definición:
Toda relación implica una relación inversa cuyos elementos son los pares ordenados invertidos en el orden de sus componentes. Se indica con R-1
O sea: (a,b)  R  (b,a)  R-1

Ejemplo:
La relación inversa de cada unade las relaciones definidas en los ejemplos anteriores es:
R1-1 = {((2, 2); (2, 3)}


Función

Definición:

Dados dos conjuntos A y B se define una función entre los elementos de A y B a un conjunto f que verifica:

a) f  AxB
b) Para algunos a  A, existe b  B tal que (a, b)  f
c) Si (a, b)  f y (a, c)  f entonces b=c

Observaciones:

a) Indica que f essubconjunto de AxB, o sea que f es una relación.
b) Indica que algunos elementos a  A tiene una imagen b  B.
c) Indica que si un elemento a  A tiene imagen, ésta es única.

Ejemplos prácticos:

Analizar cuales de las siguientes relaciones son funciones.



f1 f2si


f3 f4







Notación:

Para indicar que f es una función de A en B se utiliza: f: A->B.
Si (x, y)  f entonces y =f(x).
x: variable independiente y: variable dependiente

Dominio e Imagen de una función

Como toda función es una relación, el dominio y laimagen se definen tal como se hizo para relaciones, es decir:
Dom f = {x A /  y B: y=f(x)} Dom f  A
Im f = {y B /  x A: y=f(x)} Im f  B


Función Inyectiva, Sobreyectiva y Biyectiva

Definición:

Sea f: A->B una función; se define que:

a) f es inyectiva si y sólo si dos elementos cualesquiera distintos del dominio de la función, tienen imágenes distintas.
f es...