funciones

UNIDAD III-A


FUNCIONES


Dados dos conjuntos A y B no vacíos, se llama función de A en B a toda relación que hace corresponder a cada elemento del conjunto A un único elemento del conjunto B.

Por lo tanto, una función es un subconjunto de AxB, en el cual cada elemento de A aparece una vez, y sólo una vez, como primer componente en los elementos del subconjunto.

Para simbolizar unafunción se utilizan las letras f, g, h etc. y se denota
f : A  B

Se lee: f es función de A en B.

Entonces: f es una función de A en B si y sólo si f es un subconjunto de AxB que satisface las siguientes condiciones:

a)  x  A,  y  B / (x, y)  f (Condición de
existencia)

b) (x, y)  f  (x, z)  f  y = z (Condición deunicidad)


Dominio de f: Df = A

Codominio o Imagen de f:

Imf = { y/y  B   x  A / (x, y)  f}


En una función, el dominio coincide con el conjunto de partida y el codominio o imagen son los elementos del conjunto de llegada que intervienen en la función. (Recuerde los conceptos de dominio y codominio vistos en relaciones).En un diagrama de Venn:












Donde f(a), f(b), f(c), f(d) representan simbólicamente las imágenes de los elementos a, b, c, d pertenecientes al conjunto A.

Ejemplo: ¿Los siguientes diagramas definen una función de A en B?.


Respuesta:

a) No es función, puesto que no cumple con la condición: el conjunto de partida debe coincidir con el dominio. Es decir existe unelemento del conjunto A que no está vinculado con algún elemento del conjunto B.
b) Si es función ya que cumple con las dos condiciones y son: todos los elementos del conjunto de partida, coinciden con el dominio y están vinculados. Además a cada elemento del dominio le corresponde un único elemento del codominio. Nótese que dos elementos del dominio le corresponden un mismo elemento del codominio,esto no importa, lo que sí es importante es que a cada elemento del dominio le correspondan uno y sólo un único elemento de la imagen.
c) No es función pues no cumple con la condición de que a cada elemento del dominio le correspondan un único elemento de la imagen.

Las funciones se pueden representar además, utilizando el gráfico cartesiano, donde el dominio será representado sobre el ejehorizontal (eje de abscisas o eje x) y el conjunto de llegada sobre el eje vertical (eje de ordenadas o eje y).
Entonces, la representación gráfica de una función f utilizando un par de ejes cartesianos ortogonales, está dada por los puntos (x, y) del plano para los cuales:

y = f(x)

que se lee: “y función de x” o “y igual a f de x”

Ejemplo: Las gráficas que siguencorresponden a funciones de A en B:
























Obsérvese que si trazamos una recta imaginaria paralela al eje y, por cada uno de los puntos del eje x, esas paralelas cortan al gráfico de la función siempre y sólo una vez.


Las siguientes gráficas corresponden a relaciones que no son funciones:















Gráficamente se ve con paralelas al“eje y” que cortan al gráfico de la función en más de un punto.






CLASIFICACION DE FUNCIONES

1) Función inyectiva:

Sea una función f:A  B , si ocurre que elementos distintos del dominio tienen imágenes distintas en el conjunto de llegada la función se llama función inyectiva.

f:A  B es inyectiva   a  b  A : a  b  f(a)  f(b)

En la inyectividad no puede darse queelementos distintos del dominio tengan la misma imagen.

Ejemplo 1: Dada la función f: NN tal que f(x) = 2 x
Es una función con dominio y codominio en el conjunto de los números naturales, que le asigna a cada número natural su duplo.
Su representación es un conjunto de puntos aislados, pues f = { (1;2), (2;4), (3;6)....}.

Debemos verificar si es inyectiva:

Sea x’ y x” en N tales que...