Funciones

Colegio Antonio de Nebrija Matemáticas

1. Definición 2. Operaciones con funciones
     Suma y diferencia Producto Cociente Composición de funciones Función reciproca (inversa)

3. Estudio de una función:
         Dominio Recorrido Puntos de corte Signo de la función Simetría Continuidad Periodicidad Crecimiento-Decrecimiento Máximos y Mínimos

4. Tipos de funciones:
     Función a trozos Función valor absoluto Funciones polinomicas Funciones racionales Función exponencial Funciones trigonometricas

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DEFINICIÓN
Una función es una relación entre dos magnitudes siempre que a cada valor de la variable independiente le corresponde un único valor de la variable dependiente La variable independiente se suele representarpor x, y la letra y representa el valor de la variable dependiente. La relación o función que existe entre ambas se suele representar por la letra f, de la siguiente forma f(x)=y

OPERACIONES CON FUNCIONES
Suma y diferencia Dadas dos funciones f y g se define la función suma f +g por: (f +g)(x)=f(x)+g(x)
Ej: Sea f(x)= x+3 y g(x)= x2 + 2x – 4. (f +g)(x)=f(x)+g(x)= x+3 + x2 + 2x – 4 = x2 + 3x – 1.Producto Dadas dos funciones f y g se define la función producto f.g así (f.g)(x)= f(x).g(x)

Ej: Sea f(x)= x+3 y g(x)= x2 + 2x – 4. (f.g)(x)=f(x).g(x)= (x+3) .( x2 + 2x – 4) = x3 + 2x2 – 4x + 3x2+6x -12= x3 + 5x2+2x-12

Cociente Dadas dos funciones f y g se define la función cociente f/g por: (f/g)(x) = f(x)/g(x), siempre que g(x) sea distinto de 0.
Ej: Sea f(x)= x+3 y g(x)= x2 + 2x – 4.(f/g)(x)=f(x)/g(x)= (x+3) /( x2 + 2x – 4)

Colegio Antonio de Nebrija Matemáticas Composición de funciones Dadas las funciones f y g se define la función compuesta: f compuesta con g : g o f(x) = g(f(x)) Se calcula: poniendo en la expresión de g, en lugar de x, la expresión de f(x). A continuación, se realizan operaciones para simplificar la expresión.
Ej: Dadas las funciones f(x)= x +3 yg(x)= x2 2 2 2 Calcula g o f = g(f(x))= (f(x)) = (x+3) = x +6x+9 f o g = f(g(x))= g(x) +3 = x2 + 3

Pongamos otro ejemplo: si f y g son las funciones definidas por:

Función reciproca (inversa) Se llama inversa de f y se representa por f
-1

cuando cumple que f o f -1= 1

Las gráficas de f y f-1son simétricas respecto a la bisectriz del primer y tercer cuadrante. Cálculo práctico de lainversa Si y = f(x) la expresión de f-1 se obtiene despejando la x: Vamos a verlo con un ejemplo:

Despejamos la x : Luego: f-1= 2x+3

2. f(x)=x-3

→ x=2.f(x) + 3

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ESTUDIO DE UNA FUNCIÓN
Dominio de una función
Es el conjunto de todos los valores que puede tomar la variable independiente. Obtención del dominio de definición a partir de la gráfica.Cuando una función se nos presenta en forma de una gráfica, simplemente con observar el eje de abscisas de dicha gráfica podemos saber el dominio de la función. Porque cualquier valor de x del dominio tiene su correspondiente imagen y por ello le corresponde un punto de la gráfica.

En el ejemplo vemos coloreado de azul el dominio (está dibujado un poco más abajo del eje para que sea bien visible).En este caso tenemos que D[f(x)] =(- , 2)U(2, 7] Obtención del dominio de definición a partir de la expresión algebraica FUNCIONES POLINOMICAS Aquellas cuya expresión algebraica es un polinomio, las funciones polinómicas, tienen como dominio todo el conjunto de los números reales: R, puesto que a partir de una expresión polinómica, sustituyendo el valor de x=a (siendo a un número real) podemoscalcular el valor de f(a)= y Por ejemplo: f(x)= 2x5- 7x + 1; D[f(x)]= R g(x)= -9x + 3; D[g(x)]= R

Colegio Antonio de Nebrija Matemáticas h(x)=5 ; D[h(x)] = R FUNCIONES RACIONALES Si la función es racional, Es decir que su expresión es un cociente de dos polinomios, tenemos que excluir del dominio las raíces del polinomio denominador (soluciones de la ecuación). Así pues si el polinomio...