FUNCIONES

FUNCIONES

Febrero 2012

Una operación de gran importancia para el estudio de
las relaciones matemáticas es “El Producto
Cartesiano” entre dos conjuntos.
Suponga un conjunto A= {a1, a2, a3, …, an} y un
conjunto B= {b1, b2, b3, …, bn}. Su producto cartesiano
se define como:

A x B= {(a1, b1), (a1, b2), (a1, b3), … , (a1, bn),
(a2, b1), (a2, b2), (a2, b3), … , (a2, bn),
(a3, b1), (a3,b2), (a3, b3), … , (a3, bn),
(an, b1), (an, b2), (an, b3), … , (an, bn)}

B

A

a1
a2
a3
…
an

b1
b2
b3
…
bn

Una relación matemática será entonces una regla de
correspondencia entre los elementos de dos
conjuntos, es decir, un subconjunto del producto
cartesiano.

B

A
a1
a2
a3
…
an

b1
b2
b3
…
bn

Al conjunto ordenado de parejas de la forma (x,y) delas variables X y Y, en el cual dos parejas distintas no
pueden tener el mismo primer elemento es a lo que
llamaremos: “Función”.

En esta relación ningún mismo primer
elemento se repite, por lo tanto es una
función…
R= {(x1, y1), (x2, y1), (x3, y2), (x4, y3),
(x5, y3), (x6, y5), …}

En esta relación se repite el mismo primer
elemento, por lo tanto no es una función…

R= {(x1, y1),(x1, y2), (x1, y3), (x2, y2), (x2, y3),
(x2, yn), (x3, y1), (x3, y3)}

Al primer elemento de cada pareja (abscisa) se
le llama “variable independiente x” y al
segundo elemento (ordenada) se le llama
“variable dependiente y”

A todos los valores que puede tomar x se le
llama “Dominio (Dom)” y a los valores que
puede tomar y se le conoce como “Rango
(Ran)”.

Con base en lo anterior, unafunción también
puede ser una regla de correspondencia que
asocia a los valores del dominio (x), con uno y
sólo uno valores del rango (y).
La notación de una función es:

y= f(x)
Es decir, el valor de la variable dependiente y
esta en función (depende) del valor de la
variable independiente x.

En este caso y no es
función de x.

En este caso y es función
de x.

Tipos deFunciones
Algebraicas

Constante, Lineal,
Polinomiales, Raíz
Cuadrada

Trascendentales

Exponencial,
logarítmica,
Trigonométrica:
sen, cos, tan

FUNCIONES

Especiales

Valor Absoluto, Racionales

Función Constante
Sea un valor “c” ϵ R, definiendo a 𝑓 𝑥 = 𝑐,
∀ 𝑥∈R
Ejemplo:

Dom f= R
Ran f= {4}

𝑓 𝑥 =4

Ejemplo de función escalonada constante :
−2,
𝑠𝑖 𝑥 < 0
2,
𝑠𝑖 0 ≤ 𝑥 ≤2
𝑓 𝑥 =
4,
𝑠𝑖 𝑥 > 2

Dom f= R
Ran f= {-2, 2, 4}

Función Lineal
La función lineal definida como 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏, es una recta
con pendiente a y ordenada al origen b, cuyo dominio y rango
son todos los reales.

Ejemplo:

Dom f = R
Ran f = R

𝑓 𝑥 = 𝑥

𝐹𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑

Función Lineal
Ejemplo:

Dom f = R
Ran f = R

𝑓 𝑥 = 2𝑥 + 1

Función Polinomial
La forma general dela función polinomial de grado n, con n
entero positivo, definida ∀𝑥, es: 𝑓 𝑥 = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥 2 +
𝑎3 𝑥 3 + ⋯ + 𝑎 𝑛 𝑥 𝑛 , con dominio en todos los reales.

Ejemplo:

𝑓 𝑥 = 𝑥2
Dom f = R
Ran f = [0, ∞)

Función Polinomial
Actividad: Graficar en Geogebra y discutir
los resultados de las siguientes funciones:
Potencias impares: 𝑦 = 𝑥, 𝑦 = 𝑥 3 , 𝑦 = 𝑥 5 , 𝑦 = 𝑥 7
Potencias pares: 𝑦 = 𝑥2 , 𝑦 = 𝑥 4 , 𝑦 = 𝑥 6 , 𝑦 = 𝑥 8
Curvas similares: 𝑦 = 𝑥 2 , 𝑦 = 2𝑥 2 , 𝑦 = 4𝑥 2
Curvas similares: 𝑦 = 𝑥 3 , 𝑦 = 3𝑥 3 , 𝑦 = 6𝑥 3
Coeficiente negativo: 𝑦 = −𝑥 2 , 𝑦 = −2𝑥 2
Exponente Negativo: y = 𝑥 −2 , 𝑦 = 𝑥 −3

Función Raíz Cuadrada
Aquellas que contienen raíces cuadradas √ que pueden
expresarse con exponente a la ½ y que existen como tales para
valores positivos.

Ejemplo:

𝑓 𝑥 =𝑥= 𝑥

1
2

Dom f = [0, +∞)
Ran f = [0, +∞)

FUNCIONES
TRASCENDENTALES

Función Exponencial
Son de la forma general 𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑥 , en donde a ϵ R, para
valores de a mayores que cero y diferentes de 1, esto es: a>0 y
a ≠1.

Ejemplo:

𝑓 𝑥 =2𝑥
Dom f = R
Ran f = (0, +∞)

Función Exponencial
El caso de la función Exponencial Natural 𝑓 𝑥 = 𝑒 𝑥 .

Dom f = R
Ran f = [0, +∞)...