Funciones

FUNCIONES Una función es una relación entre dos variables x e y; tal que a cada valor de x le corresponda uno sólo de y: Las funciones se nombran con las letras f; g; h; etc, y se de…nen mediante una ecuación en dos variables x e y; donde el valor de y se denomina "Imagen de x". Este valor de y se puede representar con f (x); es decir, y = f (x) El símbolo f (x) signi…ca "La imagen de x mediantela función f ", que se lee " Efe de x" Sea la función f tal que: f ( 2) = 3( 2) + 1 f ( 2) = 5 f ( 1) f (0) f (1) = = = 2 1 4 Entonces, f ( 1) f (0) f (1) = = = 3( 1) + 1 3(0) + 1 3(1) + 1

f (2) = 7 f (2) = 3(2) + 1 En general, f (x) = 3x + 1: Esta es la ecuaión que de…ne a esta función. También se puede escribir como y = 3x + 1; ya que y = f (x) La ecuación que de…ne a una función se puedeutilizar para calcular nuevas imágenes, es decir para evaluar la función en otros valores de x Ejemplos 1. Calcular las siguientes imágenes en f (x) = 3x + 1 a) f ( 5) b) f ( Solución (a) f ( 5) = 3( 5) + 1 = (b) f( (c) f (a + b) f (a) = = = [3(a + b) + 1] 3a + 3b + 1 3b [3a + 1] 3a 1 3 3 ) = 3( )+1= 2 2 9 +1= 2 9+2 = 2 7 2 15 + 1 = 14
3 2)

c) f (a + b)

f (a) d)

f (x + h) h

f (x)

1(d) f (x + h) h f (x) = = = = 2. Si f; g y h son funciones de…nidas por: f (x) = x2 a) f ( 1) Solución (a) 5g(2) + 3h(0) k h i p 2(0) 3( 1) + 2] 5 2(2) + 5 + 3 02 +1 k [1 + 3 + 2] 5(3) + 3 0 1 k 9 f ( 1) 5g(2) + 3h(0) b) 2f (3) g(
1 2)

[3(x + h) + 1] h 3x + 3h + 1 h 3h h 3 3x + 2; g(x) = p

[3x + 1] 3x 1

2x + 5 y h(x) =

+ 3h(1) c)

f(1) f (x + h) 2 d) g(10) h

2x ; Calcular: x2 +1 f (x)

[( 1)2

(b) 2f (3) (c) (d)
1 f(2)

g(

1 2)

+ 3h(1)

g(10) f (x + h) h f (x)

DOMINIO Y RANGO DE FUNCIONES Dominio: Es el conjunto de valores de x que tienen imagen. Si en una función real no se ha especi…cado el dominio, este es el conjunto de todos los valores reales que se puedan asignar a x para su imagen y tenga un valor real. Ejemplos 1. E dominio de f (x) = p 6 2xes D = fx 2 R j 6 Como 6 2x 0 =) 2x Entonces D = ( 1; 3] 6 =) x
6 2

2x 3;

0g:

=) x

2

2. El dominio de g(x) =

x2

2x 5 es 9x + 20 D = fx 2 R j x2 9x + 20 6= 0g: ( 9) p 9 ( 9)2 2(1) 81 2 1 2 5; 4 4(1)(20)

Como x
2

9x + 20 6= 0

=)

x

6= 6= 6= 6=

p 9

80

Entonces, D = R

f4; 5g

EJERCICIOS 1 Hallar el dominio de las siguientes funciones r 3 x a) f (x) =x+2 p 4x 5 c) f (x) = 3x 9 p 6 4x e) y = 2 x 4 g) x 1 y=p 4 + 2x

b)

y=

5x + 1 4 2x x2 + 1 + 3x 9

d)

f (x) =

2x2

f)

x+5 f (x) = p 3 9 3x y= p 2x 1+ p 3x + 3

h)

Rango de una función Es el conjunto de todas las imágenes. En las fuciones reales, el rango el conjunto de todos los valores reales de y que son imagen de algún x del dominio. Para hallar el rango es necesariodespejar la x y analizar la expresión en y como se hizo con el dominio Ejemplos 1. En la función de…nida por y = y = 3x 2 se tiene, al despejar x : 2x + 1 3x 2 =) 2xy + y = 3x 2x + 1 3x = y 2y 2 3 y 2 3) = y 2

=) 2xy =) x = Entonces Rg = fy 2 R=2y 3 6= 0g

2 =) x(2y

3

Luego de 2y se tiene y 6= En consecuencia, Rg = R 2. En la función y = x2 2x + 3;se tiene: x2 2x + 3 y=0 2; c = 3 y) 2p y se tiene: 4y 2 =1 8 p 3 f g 2 3 6= 0 3 2

Luego, aplicando la fórmula general con a = 1; b = 2 p 4 4(1)(3 2 2) = 2

x

=

=

= Por tanto, Rg = fy 2 R=y Como entonces 2

2

p

4(y 2

p 2 y 2

2

y

2

0g y 2 0 =) y 2;

Rg = [2; 1)

EJERCICIOS 2 1. Calcular el rango de y = x2 + 4x 3

x+2 2. Calcular el dominio de y = p 4 4x 3. Calcular f ( 2) + 3g(3) en f (x) = 3x+ 1 y g(x) = 2x x2 + 2x 14 p x3 4x + 1

4. Si una máquina de $ 30000 se desprecia 2% de su valor original cada año, determine una función f que exprese el valor V de la máquina después de que han trascurrido t años. 5. Suponga que la función de demanda anual para que cierto actor protagonice una película es p = 1200000 ; donde q es el número de películas que protagoniza durante el año. Si el...