Funciones

Función:
Una función es una regla de asociación que relaciona dos o más conjuntos entre sí; generalmente cuando tenemos la asociación dos conjuntos la función se define como una regla de asociación entre un conjunto llamado dominio con uno llamado codominio, también dominio e imagen respectivamente o dominio y rango. Esta regla de asociación no permite relacionar un mismo elemento del dominiocon dos elementos del codominio.

Notación y nomenclatura de las funciones:
Al dominio también se le llama conjunto de entrada o conjunto inicial. Se denota por o . A los elementos del dominio se les llama habitualmente argumento de la función.
Al codominio, también llamado, conjunto de llegada, conjunto final o rango de f se le denota por
o codominio.
Cabe señalar que el término rango esambiguo en la literatura, ya que puede hacer referencia tanto al codominio como al conjunto imagen. Por ello, es aconsejable usar el término codominio.
Igualdad de funciones
Sean las funciones f: A → B y g: C → D, decimos que f es igual a g y escribimos f=g si y sólo si se cumple que ambas funciones:
1. tienen igual dominio, A=C,
2. tienen igual codominio, B=D, y
3. tiene la mismaasignación, es decir que para cada x se cumple que f(x)=g(x).

Representación de funciones:
Las funciones se pueden presentar de distintas maneras:
* usando una relación matemática descrita mediante una expresión matemática: ecuaciones de la forma y = f(x). Cuando la relación es funcional, es decir satisface la segunda condición de la definición de función, se puede definir una función que sedice definida por la relación, A menos que se indique lo contrario, se supone en tales casos que el dominio es el mayor posible (respecto a inclusión) y que el codominio son todos los Reales. El dominio seleccionado se llama el dominio natural, de la función.
* Ejemplo: y=x+2. Dominio natural es todos los reales.
* Ejemplo: "Para todo x, número entero, y vale x más dos unidades".

*Como tabulación: tabla que permite representar algunos valores discretos de la función.
Ejemplo:
X| -2 -1 0 1 2 3
Y| 0 1 2 3 4 5

Ejemplo:
X| -2 -1 0 1 2 3
Y| 0 1 2 3 4 5

* Como pares ordenados: pares ordenados, muy usados en teoría de grafos.
Ejemplo: A={(-2, 0),(-1, 1),(0, 2),(1, 3), ...(x, x+2)}
* Como gráfica: gráfica que permite visualizar las tendencias en la función. Muy utilizada para las funciones continuas típicas del cálculo, aunque también las hay para funciones discretas.

Ejemplo:
5 | | | | | | X |
4 | | | | | X | |
3 | | | | X | | |
2 | | | X | | | |
1 | | X | | | | |
0 | X | | | | | |
y / x | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3|

Clasificación de las funciones
Dados dos conjuntos X, Y, consideremos a todas las posibles aplicaciones (funciones) que pueden formarse entre estos dos conjuntos. Podemos diferenciar los siguientes casos:

* Si a cada imagen le corresponde una única pre imagen, inyectiva.
* Si la imagen de la función es igual al codominio, sobreyectiva o suprayectiva.
* Una función que seainyectiva y sobreyectiva simultáneamente, se denomina Biyectiva .
Puede haber funciones que sean biyectivas, inyectivas pero no suprayectiva, supreyectiva pero no inyectiva o que no se cumple ninguna de esas condiciones, en cuyo caso no tiene un nombre específico.
'Definiciones alternas: sea dada y sea b un elemento cualquiera del codominio Y. Consideremos la ecuación .
* la función essuprayectiva o sobreyectiva si, y sólo si, la ecuación (*) siempre tiene al menos una solución.
* la función es inyectiva si, y sólo si, la ecuación (*) tiene a lo más una solución.
* la función es Biyectiva cuando, y sólo cuando, es inyectiva y suprayectiva a la vez.

* Aplicación inyectiva y no sobreyectiva

* En una función inyectiva, cada elemento imagen tiene única pre imagen. Una...