funciones

Páginas: 33 (8130 palabras) Publicado: 5 de julio de 2013
Cap´
ıtulo 3

Funciones y Gr´ficos
a
En este cap´
ıtulo se introducir´ el concepto de funci´n junto con estudiar las funciones
a
o
m´s b´sicas e importantes de las matem´ticas. El concepto de funci´n ser´ esencial para
a a
a
o
a
luego poder, en el pr´ximo cap´
o
ıtulo, introducir las nociones b´sicas del c´lculo. Los
a
a
gr´ficos de las funciones ser´n de gran ayuda paravisualizar el comportamiento de dichas
a
a
funciones. Se comenzar´n estudiando las funciones de primer y segundo grado, Luego
a
estudiaremos las funciones exponenciales, logar´
ıtmicas y las funciones trigonom´tricas.
e
Finalizaremos el cap´
ıtulo estudiando un poco el algebra de funciones.

3.1.

Concepto de funci´n
o

Se dar´ por supuesto que el lector est´ familiarizado con lasrelaciones b´sicas de la
a
a
a
teor´ de conjuntos.
ıa
´
o
Definicion 1 (de funcion) Una funci´n f de un conjunto A en un conjunto B es
una regla que hace corresponder a cada objeto o elemento de A un unico elemento de
´
B. El conjunto A se llama dominio de f (denotado Dom(f )) y el conjunto B se llama
codominio de f . En principio, no es necesario que cada elemento del codominio se le
hagacorresponder uno del dominio.
A

B
f

Para expresar que el dominio de f es el conjunto A y que el codominio de f es el
conjunto B, escribimos :
f
f : A → B o bien A → B
Si x es un elemento de A, o sea x ∈ A, el unico objeto y ∈ B que le corresponde a x
´
mediante f se llama imagen de x por f o valor de f en x y se denota f (x) (l´ase f
e

72

Funciones y Gr´ficos
a

de x). Muchasveces se suele llamar y a f (x).
f

x ∈ A → y = f (x) ∈ B
Ejemplo 3.1.1
1.

A : R+ → R+
r → πr2
A es una funci´n que a un n´mero real r le hace corresponder el valor del ´rea
o
u
a
de un c´
ırculo de radio r. El dominio y el codominio de A es el conjunto de los
n´meros reales positivos R+ .
u

2.

V: E={Conjunto de electores} → C={canditatos}
v → ¸andidato”de v.
c
V es unafunci´n que le hace corresponder a cada elector el candidato al cual ´ste
o
e
se adhiere. El dominio de V es el conjunto de electores y el codominio de V es el
conjunto de candidatos.

3.

M : P={Conjunto de personas} → M={Conjunto de mujeres}
p → madre bi´gica de p
o
M es la funci´n que a cada persona le hace corresponder su madre. El dominio de
o
M es el conjunto de personas y elcodominio de M es el conjunto de mujeres.

o
ız
Ejemplo 3.1.2 Consideremos la funci´n ra´ cuadrada”:

f : x ∈ R+ → x ∈ R
La funci´n f (x) le hace corresponder a cada n´mero x real positivo su ra´ cuadrada.
o
u
ız
Por ejemplo, esta funci´n le hace corresponder al 16 el 4.
o
f

16 → 4
f (16) = 4
El conjunto de los elementos de B que corresponden a alg´n elemento de A por f se
ullama recorrido de f o conjunto imagen de f y se suele denotar f (A).
Ejemplo 3.1.3 Consideremos la siguiente funci´n f :
o
A = {2, 4, 6, 8, 10} , B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
1
f : A → B, definida por f (x) = 2 x
En este caso, como el n´mero de elementos del dominio es reducido, podemos adem´s
u
a
definir la funci´n f(x) con ayuda de una tabla :
o
x
2
4
6
8
10

f(x)
f(2)=1f(4)=2
f(6)=3
f(8)=4
f(10)=5

3.1 Concepto de funci´n
o

73

El recorrido de f esta formado por 5 elementos :
f (A) = {1, 2, 3, 4, 5}
Si x representa un elemento gen´rico del dominio de ”f ”e y la correspondiente imagen
e
f (x) en el recorrido de f , se dice que x es la variable independiente de f e y es la variable
dependiente de f . Se suele representar a una funci´n f en el planocartesiano mediante
o
un gr´fico.
a
´
Definicion 2 (de grafico) El gr´fico de una funci´n f (x) es el conjunto de los sigua
o
ientes puntos en el plano cartesiano :
Gf =

x, f (x) / tal que x pertenece al dominio de f

Definicion 3 (de ra´ Las ra´
ız)
ıces, o ceros, de una funci´n f (x) corresponden al cono
junto de valores para x tal que f (x) = 0. Visto desde el punto de vista del...
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