funciones

Curso: Modelos matemáticos y funciones
Magíster EC / MM

Documento: Funciones III
Funciones reales especiales

3.1. Función constante
Una función constante es aquella que tiene la forma y=f(x)=c, donde c es un número real fijo.
El dominio de una función constante es IR, y su recorrido es {c}. Su gráfica es una recta
paralela (o coincidente) al eje X.

3.2. Función lineal
Una funciónlineal es aquella que tiene la forma, o puede ser llevada a la forma:
y = f ( x) = ax + b , con a ≠ 0 , a, b ∈ IR
Propiedades
1. El gráfico de una función lineal es siempre una línea recta.
2. El coeficiente a es la pendiente de la recta y=ax+b.
Cuando a>0, la función lineal es creciente, es decir, su gráfico es una recta que sube
de izquierda a derecha.
Cuando a 0
Universidad de TalcaInstituto de Matemática y Física

Gráfica de y = ax + b , a < 0
1

Profesores: Juanita Contreras S.
Claudio del Pino O.

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Magíster EC / MM

Documento: Funciones III
Funciones reales especiales

3. El dominio y el recorrido de una función lineal es IR.
4. La función lineal y = f ( x) = ax + b , con a ≠ 0 es inyectiva (y sobre), por lo tanto,
1
btiene inversa. Su inversa es también una función lineal: f −1 ( x) = x − .
a
a
Observación. Ecuación general de la recta

La ecuación general de una recta es Ax+By+C=0 con A ≠ 0 o B ≠ 0 .
•
•

Cuando B=0, la gráfica es una recta paralela al eje Y o coincidente con este
eje.
A
Cuando B ≠ 0 , la gráfica es una recta que tiene pendiente igual a m = − .
B

3.3. Función cuadráticaUna función cuadrática es aquella que tiene la forma, o puede ser llevada a la forma:
y = f ( x) = ax 2 + bx + c , con a ≠ 0 , a, b, c ∈ IR

Propiedades de una función cuadrática
1. El gráfico de una función cuadrática es una parábola.
2. La gráfica de y = f ( x ) = ax 2 + bx + c intercepta al eje Y en el punto (0,c)
La gráfica de y = f ( x ) = ax 2 + bx + c intercepta al eje X cuando Δ = b 2− 4ac ≥ 0 . En
tal caso, las abscisas de los puntos de intersección son las raíces de la ecuación
ax 2 + bx + c = 0.
⎛ b
⎛ b ⎞⎞
3. Su gráfica es una parábola cuyo vértice es el punto ⎜ −
⎜ 2 a , f ⎜ − 2a ⎟ ⎟ .
⎟
⎝
⎠⎠
⎝
b
4. La recta vertical x = −
es una recta eje de simetría de su gráfico.
2a
5. Si a>0 la parábola se abre hacia arriba, y si a 0, Δ > 0

a > 0, Δ = 0

a > 0, Δ <0

a < 0, Δ > 0

a < 0, Δ = 0

a < 0, Δ < 0

3.4. Función cúbica
Una función cúbica es aquella que tiene la forma, o puede ser llevada a la forma:
y = f ( x) = ax 3 + bx 2 + cx + d , con a ≠ 0 , a, b, c, d ∈ IR

Un ejemplo de función cúbica es la función y = f ( x) = x 3 , cuya gráfica es:
x
-2
-1
0
1/2
1
2
3

Universidad de Talca
Instituto de Matemática y Física

f ( x)= x 3
-8
-1
0
1/8
1
8
27

3

Profesores: Juanita Contreras S.
Claudio del Pino O.

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Magíster EC / MM

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Funciones reales especiales

3.5. Funciones definidas por tramos
En muchas ocasiones se requiere más que una sola fórmula para describir una función. Se dice
que estas funciones son funciones definidas portramos.
Ejemplos de funciones definidas por tramos::
⎧1 − 2 x si x < 1
a) f ( x) = ⎨
si x ≥ 1
⎩ x

⎧ x 2 + 1, x < −1
⎪
b) f ( x) = ⎨ x + 1, − 1 ≤ x < 3
⎪ 4,
x>5
⎩

El dominio de la función del ejemplo a) es IR; y en el ejemplo b) es ] − ∞, 3] U ]5,+∞[ .
Otro ejemplo:
Según un estudio de uso de Internet entre el año 1997 y el 2001, se determinó que el porcentaje
p(t) de compradores deautos nuevos que utilizaban Internet para buscar o comprar modelos a
través de este medio, en el año t, está dado por la función:
⎧10t + 15, si 0 ≤ t < 1
p (t ) = ⎨
⎩15t + 10, si 1 ≤ t ≤ 4
donde t=0 representa el año 1997.

t medido en años.

Esta notación dice que, se debe usar la primera fórmula, 10t + 15, cuando 0
fórmula, 15t + 10, cuando 1 t 4.

t < 1, y la

Por ejemplo: p(0.5)...