Funciones

Función:
Una función entre dos conjuntos numéricos es una correspondencia tal que no hay ningún número que tenga más de una imagen.
De manera más abstracta, el concepto general de función, aplicación o mapeo se refiere en matemáticas a una regla que asigna a cada elemento de un primer conjunto un único elemento de un segundo conjunto. 

Dominio de una función o campo de existencia:
Es elconjunto formado por los elementos que tienen imagen. Los valores que le damos a x (variable independiente) forman el conjunto original. Graficamente lo miramos en el eje OX de abscisas, leyendo como escribimos de izquierda a derecha.

Recorrido o rango de una función:
 Es el conjunto formado por las imágenes. Son los valores que toma la función "y" variable dependiente, por eso se denominaf(x), su valor depende del valor que le demos a "x". Graficamente lo miramos en el eje OY de ordenadas, leyendo de abajo a arriba.
Codominio de una función:

El condominio (conjunto final, recorrido o conjunto de llegada) de una función [pic] es el conjunto [pic] que participa en esa función, y se denota [pic] o [pic] o [pic].

Sea [pic] la imagen de una función [pic], entonces [pic].Clasificación de las funciones:

• Función inyectiva:

En matemáticas, una función [pic] es inyectiva si a cada valor del conjunto [pic] (dominio) le corresponde un valor distinto en el conjunto [pic] (imagen) de [pic]. Es decir, a cada elemento del conjunto Y le corresponde un solo valor de X tal que, en el conjunto X no puede haber dos o más elementos que tengan la misma imagen.

Así, porejemplo, la función de números reales [pic], dada por [pic] no es inyectiva, puesto que el valor 4 puede obtenerse como f(2) y f( − 2). Pero si el dominio se restringe a los números positivos, obteniendo así una nueva función [pic] entonces sí se obtiene una función inyectiva.

Ejemplo:

[pic]

• Función sobreyectiva:una función [pic] es sobreyectiva (epiyectiva, suprayectiva,suryectiva, exhaustiva o subyectiva), si está aplicada sobre todo el codominio, es decir, cuando la imagen [pic], o en palabras más sencillas, cuando cada elemento de "Y" es la imagen de como mínimo un elemento de "X".

Formalmente,

[pic]
Ejemplo:

[pic]

• Función biyectiva:

Una función [pic] es biyectiva si es al mismo tiempo inyectiva y sobreyectiva; es decir, si todos los elementos delconjunto de salida tienen una imagen distinta en el conjunto de llegada, y a cada elemento del conjunto de llegada le corresponde un elemento del conjunto de salida.

Formalmente,

[pic]
Una implicación directa de lo anterior, es que en una función biyectiva la cardinalidad del conjunto de salida o dominio, y el de llegada o codominio, son iguales. Esto también se puede ver en elejemplo, donde |X|=|Y|=4.

Ejemplo:

[pic]

Tipos de funciones:

Dependiendo de ciertas características que tome la expresión algebraica o notación de la función f en x, tendremos distintos tipos de funciones:

Función constante:

Una función de la forma f(x) = b, donde b es una constante, se conoce como una función constante.

Por ejemplo, f(x) = 3, (que corresponde al valorde y) donde el dominio es el conjunto de los números reales y el recorrido es {3}, por tanto y = 3. La gráfica de abajo muestra que es una recta horizontal.

|[pic] |[pic] |

 

Función lineal:

Una función de la forma f(x) = mx + b se conoce como una función lineal,donde m representa la pendiente y b representa el intercepto en y. La representación gráfica de una función lineal es una recta. Las funciones lineales son funciones polinómicas.

Ejemplo:

f(x) = 2x − 1  

es una función lineal con pendiente m = 2 e intercepto en y en (0, −1). Su gráfica es una recta ascendente.

|[pic] |
|f(x)...