Funciones

FUNCIONES

1. ¿Qué es sucesión y que es serie?:

Sucesión
Se entenderá por sucesión una colección de números dispuestos uno a continuación de otro.
 
Sirvan de ejemplo:
[pic]
 
b) -1, 3, 7, 11, 15...
 
c) 3, 6, 12, 24, 48...
 
En el primero no es posible averiguar qué número seguiría a 13 (no se encuentra una regla que indique la relación entre los términos). En el segundo, a 15le seguirían 19, 23, 27... (cada término es cuatro unidades mayor que el anterior). En el tercero, al término quinto, que es 48, le seguiría 96 (cada término es el doble del anterior).
 
Cuando se habla de una sucesión cualquiera, la forma más usual de referirse a ella es escribir a1, a2, a3, a4, ..., an - 2 , an - 1 , an , ... donde los subíndices determinan el lugar que cada término ocupadentro de la sucesión, y los puntos suspensivos evitan la necesidad de escribir todos los números.
 
Es también frecuente encontrar una sucesión simbolizada por (an)nN, o simplemente (an).

Serie
En matemáticas, una serie es la suma de los términos de una sucesión. Se representa una serie con términos an como [pic]donde N es el índice final de la serie. Las series infinitas van desde 1 hasta[pic].
Las series convergen o divergen. En cálculo, una serie diverge si [pic]no existe. Una serie converge si [pic]para algún [pic].

2. ¿Cómo se clasifican las sucesiones? De un ejemplo c/u:

Sucesiones acotadas
Una sucesión {xn} es acotada si existe un número real K tal que:
|xn| ≤ K ∀n ∈ IN.
Entonces, K es una cota de la sucesión {xn}.

Ejemplo:
A partir de la definicióndemostraremos que xn = [pic] es acotada.
Puesto que n ≥ 1, podemos decir que 1 ≥[pic]. Por tanto, la sucesión es acotada.
Sucesiones monótonas
Una sucesión {xn} es monótona si es creciente o decreciente, es decir se crece al infinito positivo indefinidamente o decrece al infinito negativo de la misma forma.
• Una sucesión {xn} es creciente si para todo n ∈ IN se verifica que xn ≤ xn+1.
• Una sucesión{xn} es estrictamente creciente si para todo n ∈ IN se verifica que xn < xn+1.
• Una sucesión {xn} es decreciente si para todo n ∈ IN se verifica que xn ≥ xn+1.
• Una sucesión {xn} es estrictamente decreciente si para todo n ∈ IN se verifica que xn > xn+1.

Ejemplo:

Nos proponemos demostrar que la sucesión con término general
xn = [pic] es monótona.
Si queremos comprobar que la sucesiónes monótona creciente, tenemos que demostrar
que xn ≤ xn+1.

[pic]

Teniendo en cuenta que todas las desigualdades anteriores son equivalentes y la última
es cierta, entonces tenemos que todas las desigualdades son ciertas. Así, la sucesión es
monótona creciente.

Sucesión convergente
Toda sucesión que tenga límite se dice que es convergente.
Una sucesión (an  ) que tenga por límite l,se dirá que tiende a l o que converge a l.
 
Ejemplo:
[pic]
Resolución:
•Se toma un ε cualquiera (sin especificar más).
•Hay que encontrar un no  tal que para n ≥ no , 0 - ε < an  < 0 + ε.
 
 
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]

Sucesiones divergentes
Una sucesión es divergente si los términos se aproximan cada vezmás a infinito o a menos infinito (+∞ ó −∞ ). Expresado de forma rigurosa:
 
•Una sucesión (an  ) tiene por límite +∞ ó diverge a +∞ si elegido un número k tan grande como se quiere, se puede encontrar un subíndice no   tal que para cualquier
n ≥ no  , an   > k.
Esto es equivalente a afirmar que para n ≥ no  , an   está en el intervalo (k, +∞), es decir, los términos se hacen tangrandes como se quiera.

Ejemplo:
? Probar que la sucesión an   = 5n2 - 9 diverge a +∞.
 
Resolución:
•Se elige un número k tan grande como se desee. Por ejemplo k = 108.
•Hay que encontrar los valores de n para los cuales an >108, es decir, 5n2- 9 >108.
•En 5n2 - 9 > 108 se suma 9 a los dos miembros: 5n2 > 108 + 9 = 100 000 009.
[pic]
A partir del término a4 473, an   >...