funciones

FUNCION INYECTIVA:
Una función  f: " Xà Y", es inyectiva si a cada valor del conjunto "X" (dominio) le corresponde un valor distinto en el conjunto "Y "(imagen) de "f", es decir a cada elemento del conjunto "Y" le corresponde un solo valor de "X"  tal que, en el conjunto "X" no puede haber dos o más elementos que tengan la misma imagen. Es decir una función es inyectiva si cada f(x) en elrecorrido es la imagen de exactamente un único elemento del dominio de todos los pares (x, y) pertenecientes a la función, las “y” no se repiten


EJEMPLO 1:
Determinar si la siguiente función es o no inyectiva: g(x) = 1 – x3.
Asignando valores a "x" y representándolos en la tabla resulta:

x
-3
-2
-1
0
1
2
3
f(x)
28
9
2
1
0
-7
-26

Donde su gráfica será a:



Una funciónes inyectiva si a cada elemento del rango o imagen se le asocia con uno y solo un elemento del domino.


Ejemplo 2:
Sea A= {1, 2,3} B= {1, 2,3};
f: A.B:
f= {(1,2), (2,1), (3,3)}
Es decir, gráficamente queda:



Nótese que cada elemento del
Conjunto B recibe solamente una línea.
ENTONCES ES INYECTIVA.




Ejemplo 3.
Para la siguiente función: f(x) = y = x-1.  A cada elemento deldomino se le relaciona en la función con UN elemento de la imagen,


Por lo tanto ES INYECTIVA.
NOTA: El domino y la imagen son todos los reales








FUNCION SOBREYECTIVA

Una función es sobreyectiva cuando cada uno de los elementos del rango es imagen de uno o varios elementos del dominio.




Ejemplo 1:   El conjunto inicial de g es R.
El conjunto final de g es:   
Laimagen de g es también R, es decir:    Im (g) = R
La imagen de g y el conjunto final de g coinciden es    R:

Véase la parte rayada del eje OY. Coincide con todo R
Luego la función g sí es sobreyectiva.




FUNCION BIYECTIVA
Una función es biyectiva si es a la vez inyectiva y sobreyectiva.

Ejemplo de función biyectiva
a)   Veamos si la función  f: R → R, donde  f(x) = 3x - 2, esbiyectiva.
Veamos primero si es inyectiva,
Si las imágenes son iguales:
 f(x1) = f(x2)     ⇒     3x1 - 2 = 3x2 - 2     ⇒     3x1 = 3x2     ⇒     x1 = x2
Los originales son iguales.
Por tanto, la función f es inyectiva.
Veamos ahora si es sobreyectiva:
El conjunto inicial de f es R.
El conjunto final de f es:    R
La imagen de f es también R, es decir:    Im (f) = R
La imagen de f y elconjunto final de f coinciden:     R:

Véase la parte rayada del eje OY. Coincide con todo
Luego la función f sí es sobreyectiva.
Por tanto, la función f es biyectiva.



FUNCIONES PAR E IMPAR
Se dice que una función es par si f(x) = f(-x), en el caso de que f(x) = -f(-x) se dice que la función es impar.
 
Ejemplos 1:
La función y(x)=x es impar ya que:
f(-x) = -xPero como f(x) = x entonces:
f(-x) = - f(x).

Ejemplo 2:
Otra función impar es y = 1/x
Cuando f(x) = -f(-x)
                     
 
Ejemplo 3:
La función f(x)=x2 es par ya que f(-x) = (-x)2 =x2






 FUNCIÓN CRECIENTE Y DECRECIENTE
 
Una función f es creciente es un intervalo si para cualquier par de números x1,x2 del intervalo..Una función f es decreciente es un intervalo si para cualquier par de números x1,x2 del intervalo, .
Sea f una función continua con ecuación y = f(x), definida en un intervalo [a,b]. La siguiente es la representación gráfica de f en el intervalo[a,b]. 
En la gráfica anterior puede observarse que la función f es:
1.) Creciente en los intervalos (a, x3), (x5, x6)
2.) Decreciente en losintervalos(x3, x5), (x6, b)

1. FUNCION CONSTANTE
Consideremos la función más sencilla, por ejemplo. La imagen de cualquier número es siempre 2. Si hacemos una tabla de valores tendríamos:
x
-2
-1
0
1
2
y
2
2
2
2
2
Por tanto si representamos todos esos valores, y más que podríamos calcular, todos están en el 2 y la gráfica resulta una línea recta que corta al eje de ordenadas en el punto...