Funciones

Funciones
Definición: Una función es una relación entre dos variables numéricas, X e Y, de forma que a cada valor de X le corresponde un solo valor de y. La variable x se llama variable independiente. La variable y se llama variable dependiente.
Dominio y recorrido de una función, f(x):
Se llama dominio de una función f(x) a todos los valores de x para los que f(x) existe. El dominio sedenota como Dom(f)
Se llama recorrido o imagen de una función f(x) a todos los valores que puede tomar f(x). La imagen se denota como Im(f)
Clasificación de Funciones
Dependiendo de ciertas características que tome la expresión algebraica o notación de la función f en x, tendremos distintos tipos de funciones:
Función polinómicas;
Una función f es una función polinómica si,f(x) = anxn + an−1xn−1+ ... + a1x + a0
Donde a0, a1,...,an son números reales y los exponentes son enteros positivos.
Ejemplos:
f(x) = x2 − 2x − 3 ( F. Cuadrática)
g(x) = 5x + 1 (F. Lineal)
h(x) = x  (F. Constante)
El dominio de todas estas funciones polinómicas es el conjunto de los números reales (porque el elemento x puede ser cualquier número real).
Función Constante:
Se la identifica:
Una función dela forma f(x) = b, donde b es una constante, se conoce como una función constante.
Por ejemplo, f(x) = 3, (que corresponde al valor de y) donde el dominio es el conjunto de los números reales y el recorrido es {3}, por tanto y = 3.
La gráfica muestra que es una recta horizontal.


 
Función lineal:
Se la identifica:
Una función de la forma se conoce como una función lineal, donde mrepresenta la pendiente y b representa el intercepto en y.
La representación gráfica de una función lineal es una recta. Las funciones lineales son funciones polinómicas.
En general, una función lineal es de la forma 
 Ejemplo:
f(x) = 2x − 1  
Es una función lineal con pendiente m = 2 e intercepto en y en (0, −1). Su gráfica es una recta ascendente.


 




Función cuadrática:
Se laidentifica:
Una función de la forma f(x) = ax2 + bx + c, donde a, b y c son constantes y a es diferente de cero, se conoce como una función cuadrática.
La representación gráfica de una función cuadrática es una parábola. Una parábola abre hacia arriba si a > 0 y abre hacia abajo si a < 0.  El vértice de una parábola se determina por la fórmula:

Ejemplo:







Orientación : Hablamos deparábola cóncava si sus ramas o brazos se orientan hacia arriba y hablamos de parábola convexa si sus ramas o brazos se orientan hacia abajo.
Esta distinta orientación está definida por el valor (el signo) que tenga el término cuadrático (la ax2):
Si  a > 0 (positivo) la parábola es cóncava o con puntas hacia arriba, como en f(x) = 2x2− 3x − 5







Si  a < 0 (negativo) la parábola esconvexa o con puntas hacia abajo, como en f(x) = −3x2 + 2x + 3







(Además, cuanto mayor sea |a| (el valor absoluto de a), más cerrada es la parábola.)
Como la ecuación ax² + bx +c = 0 posee un término de segundo grado, otro de primer grado y un término constante, no podemos aplicar las propiedades de las ecuaciones, entonces, para resolverla usamos la fórmula:

Entonces, lasraíces o soluciones de la ecuación cuadrática nos indican los puntos de intersección de la parábola con el eje de las X (abscisas).
Esta característica se puede determinar analizando el discriminante, ya visto en las ecuaciones cuadráticas.

Función Racional:
Se la Identifica:
Una función racional es el cociente de dos funciones polinómicas. Así es que q es una función racional si para todo x en eldominio, se tiene:
para los polinomios f(x) y g(x).
Ejemplos:


Nota: El dominio de una función polinómica son los números reales; sin embargo, el dominio de una función racional consiste de todos los números reales excepto los ceros del polinomio en el denominador (ya que la división por cero no está definida).
Ejemplo :
Un tipo de función racional es la función de proporcionalidad...