funciones

Funciones de R en Rn
Funciones Vectoriales
Llamaremos funci´n vectorial de variable real o simplemente funci´n vectorial, a aquellas con
o
o
dominio en un subconjunto de R y contradominio en un espacio vectorial Rn . De esta manera
una funci´n vectorial f asocia a cada elemento t de un conjunto A de n´meros reales, un unico
o
u
´
vector f (t).
Puesto que f (t) es un punto en el espacioRn , ´ste tiene n coordenadas, las cuales son en general,
e
funciones de la variable t. As´ podemos escribir
ı
f (t) = (x1 (t)), x2 (t)), ..., xn (t))

∈ Rn

Nota:Observemos que cada una de las componentes xi (t) de una funci´n vectorial es una funo
ci´n real (de variable real) y que las llamadas ecuaciones parem´tricas se obtienen precisamente
o
e
al expresar cada una de lascomponnentes en funci´n del par´metro. As´ pues, las ecuaciones
o
a
ı
param´tricas definen una funci´n vectorial y viceversa.
e
o
Una ecuaci´n en dos varaibles define un lugar geom´trico que por lo general, y para nuestros
o
e
prop´sitos, ser´ una curva plana. Cuando este lugar geom´trico se define mediante ecuaciones
o
a
e
param´tricas y pensando que un punto se mueve sobre la curva conformeel par´metro recorre
e
a
el dominio, tendremos que las ecuaciones param´tricas definiran, ademas el lugar geom´trico,
e
e
el sentido en que la curva es recorrida, el punto de partida, la rapidez con la que se hace el
recorrido, qu´ porci´n de la curva se considera (variando el dominio) y si la curva es cerrada,
e
o
cuantas veces se recorre

En los cursos de Geometr´ Anal´
ıa
ıtica, yahan sido consideradas funciones de este tipo, por
ejemplo, la ecuaci´n vectorial de una recta L, en el espacio, que pasa por un punto P0 y que es
o
−
paralela a un vector →, que puede darse en la funci´n
a
o
L = {P R3 | P = P0 + ta, t R}
1

en donde, si consideramos que P0 es un punto fijo y a es un vector tambien constante, entonces
tenemos que P es una funci´n vectorial del parametroreal t, es decir, cada valor de t esta
o
asociado con un punto P de la recta.
Ejemplo.- Si f es la funci´n vectorial por f (t) = (2 cos(t), 2 sin(t)) con t [0, 2π], tenemos
o

entonces que f asocia a cada n´mero real t en el intervalo t [0, 2π], un par ordenado (x, y)
u
con x = 2 cos t y y = 2 sin t, que son las ecuaciones param´tricas de una circunferencia de
e
radio 2 y centro en elorigen.
Asi pues la gr´fica de f es una circunferencia.
a

Cada una de las funciones vectoriales que se dan a continuaci´n, define el mismo lugar geom´trio
e
co o una parte de ´ste; sin embargo, el sentido, el punto de partida y la rapidez de recorrido
e
as´ como la porci´n de la curva que se considera en cada caso varia.
ı
o
f1 (t) = (2 cos t, 2 sin t) t [0, 2π]
f2 (t) = (2 cos t, 2 sint) t [0, 2π]
f3 (t) = (2 cos 3t, 2 sin 3t) t [0, 2π]
f4 (t) = (2 cos t, 2 sin t) t [0, π]
f5 (t) = (2 cos t, 2 sin t) t [0, 6π]
2

f6 (t) = (2 cos t, 2 sin t) t [−π, π]
Para una funci´n vectorial en R3 decimos que: Si D es un conjunto de R, entonces r es una
o
funci´n vectorial con dominio D si y s´lo si, para todo t D
o
o
r(t) = f (t)i + g(t)j + h(t)k
donde f, g y h son funcionesescalares con dominio D.
Ejemplo.- Sea r(t) = (t + 2)i + (2t2 − 3)j + t3 k para todo t R ¿Para que valor de t el vector

de posici´n de r(t) est´ en uno de los planos?.
o
a
El vector de posici´n de r(t) est´ en el plano xy si su componente segun k, o sea t3 , es igual
o
a
a 0, es decir, t = 0, el vector de posici´n esta en el plano yz si la componente seg´n i
o
u
que es t + 2 = 0 o sea t= −2 finalmente, est´ en el plano xt si 2t2 − 3 = 0, es decir,
a
t=±

3/2 ≈ ±1,225..

Gr´ficas de Funciones Vectoriales
a
Si r(t) es una funci´n vectorial en el espacio 2 o en el espacio 3, entonces la gr´fica de r(t) se
o
a
define como la curva param´trica descrita por las funciones de las componentes de r(t).
e
Ejemplo.- Describa la curva definida por la funci´n vectorial r(t) = (1 +...