Funciones

La recta desde un punto de vista anal´ ıtico

1

Funci´n constante o

Sea c una constante real y consideremos la funci´n o f R → R x → f (x) = c

La gr´fica de esta funci´n representa, en elplano, a una recta paralela al eje x y que pasa por a o el punto (0, c). Claramente esta funci´n no es sobreyectiva ya que Rec(f ) = {c} = R. o Tampoco es inyectiva ya que si f (u) = f (v) no se tienenecesariamente que u = v, por ejemplo considerar u = 0, v = 1, aqu´ ocurre que f (u) = f (v); sin embargo, u = v. ı

2

Funci´n f (x) = ax + b o

Consideramos, entonces, la funci´n o f R → R x →f (x) = ax + b

Donde a, b son constantes reales. Si a = 0, la funci´n se reduce a la funci´n constante f (x) = b. o o Si a = 0 esta funci´n es inyectiva y sobreyectiva (por lo tanto, biyectiva).En efecto, o f (u) = f (v) au + b = av + b/(−b) au = av/(1/a) u = v

Para ver sobreyectividad, para un y dado en el recorrido, debemos encontrar un x en el dominio

tal que f (x) = y, hacemos losiguiente: y = ax + b/(−b) y − b = ax/(1/a) y−b = x a Es decir, para este y dado, encontramos x = muestra que
y−b a ,

falta ver que f (x) = b. Un c´lculo sencillo a

f (x) = f (

y−b ) a y−b)+b = a( a = y−b+b = y

Como quer´ ıamos. Definici´n 2.1. i) Una funci´n, f , se dice creciente si para x < y se debe cumplir que o o f (x) < f (y) ii) f es decreciente si para x < y se cumple que f(x) > f (y) Si a > 0, la funci´n f es creciente. Esto se debe a que o x < y ax < ay( la desigualdad se conserva ya que a es positivo) sumando b ax + b < ay + b f (x) < f (y) De forma an´loga se puedever que si a < 0, f es decreciente. a x < y ax > ay( la desigualdad se invierte ya que a es negativo) sumando b ax + b > ay + b f (x) > f (y) Problemas Problema 1. Encontrar el recorrido de la funci´n of [−2, 1] → R x → f (x) = 2x + 7 2

Soluci´n: Despejamos x en funci´n de y o o f (x) = y 2x + 7 = y 2x = y − 7 y−7 x = 2 Sabemos que x ∈ [−2, 1]. Esto significa que −2 −2 −4 3 ≤ x ≤ y−7 2 ≤ y−7 ≤...