Funciones

Funciones

Piense en una función como en una máquina, una máquina de calcular.




La máquina toma un número (la entrada) y produce un resultado (la salida). A cada número en la entrada le corresponde un único número como salida, pero puede suceder que varios valores diferentes de entrada den en el mismo valor de salida. Podemos, a la vez establecer la definición con mayor formalidad eintroducir alguna notación.

Función























La definición no pone restricción a los conjuntos dominio y rango. El dominio puede consistir en el conjunto de personas de su clase de Matemática y el rango el conjunto de calificaciones que se dan, y la regla de correspondencia, el procedimiento que su profesora usa para asignar calificaciones. Observe que ladefinición no permite que a una entrada le corresponda más de una salida.
Atendiendo a la definición y observando los diagramas podemos concluir que:















Para el Cálculo toman relevancia aquellas funciones en los que el dominio y rango consistan en los números reales. Por ejemplo, la función g podría tomar un número real x y elevarlo al cuadrado para producir un número realx2. En este caso, tenemos una regla o fórmula que da la correspondencia, esta es, g(x) = x2. Observa el siguiente diagrama:

|2 | |4 |
|1 | | |
|0 | | |
|-1 | |1 |
|-2 | |0 |
|Dominio|g(x) = x2 |Rango |


Notación Funcional
Para denotar funciones reales se utilizan letras mayúsculas o minúsculas: f, g. h, F, G, H. Entonces f(x), que se lee “d de x” o “f en x”, designa el valor que f asigna a x.

Ejemplos:

1) Si f(x) = x3 -4
f(2) = 23 – 4 = 8 -4 = 4.
f(-1) = (-1)3 -4 = -1-4 = -5.
f(a) = a3 -4.
f(a + h) = (a+ h)3 -4 = a3 + 3a2 + 3a + h3 -4


2) Paraf (x) = x2 -2x. Encuentre y simplifique: a) f(4) , b) f(4 + h), c) f(4 + h) - f(4) , d) [pic]
Solución
a) f(4) = 42 – 2(4) = 16 – 8 = 8.
b) f(4 + h) = (4 + h)2 – 2(4 + h) = 42 + 2(4)h + h2 – 8 – 2h = 16 +8h + h2 -8 -2h
= 8 + 6h + h2.
c) f(4 + h) - f(4) = 8 + 6h + h2 – 8 = 6h + h2.

d) [pic]


3) Dada h(x)=[pic]
Hallar h(0), h(6), h(5), h(-7), h(-5)

Solución
h(0) = [pic]
h(6)= 3.
h(5) = [pic]
h(-7) = -7 -5 = -12.
h(-5) = [pic]


Práctica

Dadas las funciones evalúe lo que se indica
1) f(x) = 2x-3 5) f(x)=x2-2x+2
hallar: hallar:
f(0) = f(-1)=
f(-3)= f(c) =
f(b)= f(1/2) =
f(x-1)= f(x+(x)=

2) f(x)=[pic] 6) f(x)=[pic]
f(-2)= f(2)=
f(6)= f(1/4)=
f(c)=3) f(x)=[pic] 7) f(x)=[pic]
f(2)= f(2)=
f(x2)= f(-2)=
f(-2)= f(x2)=
f(x-1)=

4) f(x)=x2-x+1, hallar [pic] 8) f(x)=x3-x, hallar [pic]



Dominio y Rango

La regla de correspondencia es el corazón de una función, pero ésta no está determinada por completo sino cuando se da su dominio.

Recuerda que:






Ejemplo:
Si F(x) = x2 + 1 y se especifica sudominio: {-1, 0, 1, 2, 3}, entonces el rango es: {1, 2, 5, 10}
Observaciones:
➢ El dominio y la regla determinan el rango.
➢ Cuando no se especifica dominio para una función, siempre supondremos que es el mayor conjunto de números reales para los que la regla de la función tenga sentido y dé valores de números reales. Éste se llama dominio natural.



Clasificación de las FuncionesHacia finales del siglo XVIII, los matemáticos y científicos habían llegado a la conclusión de que un gran número de fenómenos de la vida real podían representarse mediante modelos matemáticos, construidos a partir de una colección de funciones denominadas funciones elementales. Estas funciones se dividen en tres categorías:
1. Funciones Algebraicas (polinómicas, racionales, irracionales)...