Funciones

Análisis Matemático FUNCIONES 1. Introducción

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La potencia de la Matemática se basa en la capacidad de encontrar una representación matemática adecuada de un fenómeno del mundo real. A esta representación se le da a veces el nombre de modelo matemático. Un modelo es adecuado si logra incorporar los atributos o cualidades del fenómeno que son importantes para el diseñador. En los modelosmatemáticos, las relaciones significativas suelen representarse mediante funciones matemáticas o, más simplemente, funciones. Definiciones La función es, en esencia, un dispositivo de entrada-salida. Se proporciona una entrada (x) a una regla matemática (ecuación) que la transforma en una salida específica (y). “Entrada” “Función” “Salida”

Función: es una regla matemática que asigna a cada valor deentrada uno y sólo un valor de salida. Dominio: de una función es el conjunto de todos los posibles valores de entrada. Imagen: de una función es el conjunto de todos los posibles valores de salida. 1.1. Naturaleza y notación de las funciones Las funciones, en la acepción que se les da aquí, sugieren que el valor de una cosa (variable dependiente) depende del valor de una o más de ellas (variablesindependientes). En el mundo que nos rodea existe un número incontable de relaciones funcionales. La cantidad de personas que acuden a una playa dependerá de la temperatura y del día de la semana, la cantidad vendida de un producto dependerá de su precio y de los precios de las marcas de la competencia, las calificaciones dependerán del tiempo que el alumno dedique al estudio, etc. En lenguajematemático, la relación funcional existente entre las variables es: y = f(x), cuya traducción verbal es “y es igual a f de x” o “y es una función de x”. Los papeles respectivos de las variables hacen que x reciba el nombre de variable independiente y que a la variable y se le llame variable dependiente. A y se le llama a veces valor de la función.  Ejemplo: Suponga que ha aceptado un empleo comovendedor. El patrón le ha dicho que su sueldo dependerá del número de unidades que venda a la semana. Si se establece que: y = sueldo semanal en pesos x = número de unidades vendidas a la semana La dependencia establecida por su patrón puede representarse por medio de la ecuación y = f(x), donde “f” es el nombre de la función de sueldo. Supóngase nuevamente que el patrón le ha dado una ecuación paradeterminar su sueldo semanal que es la siguiente: y = f(x) = 10x + 950. La sustitución de cualquier valor para x en f producirá el valor correspondiente de y. Por ejemplo si se quiere calcular el sueldo semanal después de vender 100 unidades, se hará: y = 10(100) + 950 = $1950. En general, para la función y = f(x), el valor de y que corresponde al valor de entrada x = b se denota por medio def(b). 1.2. Consideraciones de dominio e imagen El dominio de una función se definió como el conjunto de todos los posibles valores de entrada (o de x). Nos concentraremos en las funciones de valores reales, por lo cual el dominio se 1

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compone de todos los valores reales de la variable independiente para los cuales la variable dependiente se define y es real. Cuando sequiere determinar el dominio, suele ser más fácil identificar todos los valores que no están incluidos en el dominio (es decir, se encuentran las excepciones, los valores reales de la variable independiente que deberemos excluir de R). Si se conoce el dominio, la imagen de una función es el conjunto correspondiente de valores de la variable dependiente. Pero no nos ocuparemos de ese proceso porahora. Ejemplos:  En la función y = f(x) = 3x – 1 (LINEAL) x puede ser sustituida por cualquier valor real, resultando un valor correspondiente y único de y. Si D se define como el dominio de f, D = {x/x es real} = R  En la función y = f(x) = x2 – 2x + 1 (CUADRÁTICA) Sucede lo mismo que en la función anterior, por lo que: D = {x/x es real} = R.  También son ejemplos de funciones con D = R las...