funciones

UNIDAD 7: FUNCIONES
Antes de comenzar el estudio de las funciones se debe hacer un breve repaso sobre valor absoluto junto con
algunas de sus propiedades, debido a que dicho concepto será utilizado en esta unidad.
7.1 VALOR ABSOLUTO
El valor absoluto x de un número real x se define como sigue:
 x si x  0
x 
 x si x  0

Además:


x2  x



x  a  x  a



x  a  a x  a



x  a  x  a o x  a

Se estudiará el concepto de función a partir de un ejemplo o estudio de caso:
ESTUDIO DE CASO: Un granjero tiene 24 m de cerca y desea encerrar un terreno rectangular limitado por un rio
de orilla recta. Exprese el área del terreno en términos de la longitud del ancho del terreno. Además determine las
dimensiones que debe tener el terreno de tal maneraque su área sea la más grande (área máxima)
Considérese la siguiente figura:

y

x

Se supondrá que el terreno tiene un largo y y un ancho x . Por lo
tanto el área del terreno es:
A  xy

La ecuación anterior expresa el área A del terreno en términos del
largo y y del ancho x . Pero se debe expresar A en términos de x .
Para tal efecto, se debe tener en cuenta que el granjerosolamente dispone de 24 m cerca para encerrar el
terreno, es decir:
2 x  y  24

Ahora si se despeja y en la ecuación anterior: y  24  2 x y se reemplaza y en la ecuación del área se tiene
que:
WI LS ON VE LÁS QUE Z y LÉ IDE R S ALCE DO

Funciones

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A  x24  2 x 

A  24 x  2 x 2

La ecuación anterior expresa el área A del terreno en términos del ancho x . Es decir, Adepende de x
Según el ejemplo la magnitud A depende de la magnitud x . Esto es lo mismo que decir A está en función de x .
Esta dependencia entre A y x se simboliza como:
Ax   24 x  2 x 2

 La variable A se denomina variable dependiente.
 La variable x se denomina variable independiente.
Veamos qué pasa con el área A si el ancho del terreno es igual a 4 . Es decir, si x  4 :
Si x  4, entonces A  244  242  A  64
Lo anterior se denota de la siguiente manera:
A4  64

Y se denomina evaluar el área A en x  4
 Hallemos A0  240  202  A0  0
Es claro que x no puede ser 0 ya que A valdría 0 . Además x no puede ser negativo ( x  0 ) ya que x
representa una longitud.
 Hallemos A12  2412  2122  A12  0
Es claro que x no puede ser 12 ya queA valdría 0 . Además x no puede ser mayor que 12 ( x  12 )
debido a que A sería negativo ( A  0 ). A no puede ser negativo ya que A representa un área.
¿Qué valores puede tomar x ?
Valores entre 0 y 12 , sin incluir al 0 y sin incluir al 12 . Es decir 0  x  12
El conjunto de valores que puede tomar la variable independiente, que en este caso es x , se denomina Dominio y
se representa conla letra D . Según el ejemplo:
D  x  R : 0  x  12  0, 12

Por otro lado, para determinar las dimensiones que debe tener el terreno de tal manera que su área sea máxima,
se debe graficar la ecuación:
A  24 x  2 x 2

Para tal efecto se completa cuadrados:
WI LS ON VE LÁS QUE Z y LÉ IDE R S ALCE DO

Funciones

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 2 x 2  24 x  A





 2 x 2  12 x  Ax

2



 12 x  

A
2

x  62  36   A
2

x  62   A  36
2

x  62   1  A  72
2
La anterior ecuación representa una parábola con vértice en 6, 72 , eje de simetría paralelo a A y abierta hacia
abajo, cuya gráfica se muestra en la siguiente figura:
A

6, 72

X

Según la gráfica, es claro que el valor más grande de A es 72 y se obtiene cuando x  6. Es decir:
A6  246  26  A6  72
2

Reemplazando x  6 en la ecuación y  24  2 x para hallar el valor de y se tiene que:
y  24  26  y  12

Por lo tanto, las dimensiones que debe tener el terreno de tal manera que su área sea máxima son:
Largo: y  12
Ancho: x  6
¿Qué valores tomara A ?
Valores mayores que 0 y menores o iguales que 72 . Es decir 0  A  72
El...