Funciones

CAPITULO I:

FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL


Al estudiar diversos fenómenos de la naturaleza y resolver problemas técnicos y por consiguiente matemáticos, surge la necesidad de examinar la variación de una magnitud en dependencia de la otra magnitud, es por ello que el concepto de función es una herramienta fundamental para poder describir muchos fenómenos del mundo real entérminos matemáticos.
Antes de pasar a definir una función, haremos una breve introducción de Relaciones Binarias.

PRODUCTO CARTESIANO

DEFINICIÓN. Dados dos conjuntos no vacíos A y B, se define el conjunto denotado por [pic], llamado Producto Cartesiano, el cuál está representado simbólicamente por:
[pic]

Es decir es el conjunto de pares ordenados formado por todas las combinaciones de loselemento de [pic] y [pic].
Ejemplo

Sea [pic] y [pic], entonces:

[pic]
En forma similar, tenemos

[pic]
De lo anterior, podemos decir que[pic]

RELACIONES BINARIAS

DEFINICIÓN. Sean A y B dos conjuntos no vacíos, [pic] es una relación de A en B si y sólo si está incluido en [pic], esto es:
[pic]

O lo que podemos expresar simbólicamente: [pic]
Ejemplo:

Sean [pic] ; [pic]

Sonrelaciones de A en B:


- [pic]


- [pic][pic]


- [pic][pic]


Usaremos el diagrama de flechas para representar las relaciones anteriores


A [pic] B A R2 B A R3 B


.2 .2 .2 .2 .2 .2
.4 .5.4 .5 .4 .5
.7 .7 .7
.6 .9 .6 .9 .6 .9





Nota: Sea R la relación de A enB, se define
A: Conjunto de partida (Dominio de la relación)
B: Conjunto de llegada (Rango de la relación)



CASO PARTICULAR:


[pic] es una relación en A [pic] [pic]

Ejemplo:

Dado [pic] determinar las relaciones en A:


a) [pic]


b) [pic]


c) [pic]






Solución:
[pic]
[pic]


[pic]

Después de haber visto en forma muy breve a lasrelaciones binarias, estudiaremos a continuación un caso particular de relación binaria, el cual es llamado función.

FUNCIONES

DEFINICIÓN (Función). Dados dos conjuntos no vacíos [pic] y [pic] y una relación [pic], entonces se dice que [pic] es una función de [pic] en[pic], si y solo si, para cada [pic], existe un único elemento [pic] talque [pic].
O lo que es lo mismo:
[pic]
Ejemplo:

Sean[pic] ; [pic]

Son relaciones de A en B:


- [pic]


- [pic]


- [pic]
Determinemos cuales de ellas son funciones, utilizando el método gráfico:


A [pic] B A [pic] B A [pic] B


.2 .2 .2 .2 .2 .2
.4.5 .4 .5 .4 .5
.7 .7 .7
.6 .9 .6 .9 .6 .9






Luegoque tenemos las gráficas de las relaciones anteriores, analicemos cuales de ellas son funciones utilizando la definición.


- La relación [pic]no es función, puesto que se observa que el elemento 2 del dominio, se relaciona con los elementos 2 y 7 del rango, lo cual contradice la definición.
- La relación [pic] es función, ya que a cada elemento del dominio le corresponde un único...