FUNCIONES

Matemática I. Ciclo técnico profesional. ITSA Atlántico
Profesor: Blas Torres Suárez. Versión 2.0

Unidad 3
ECUACIONES LINEALES O CUADRÁTICAS

Competencias a desarrollar:
•

Identificar las características de una ecuación lineal o cuadrática.

•

Hallar el conjunto solución de una ecuación lineal o cuadrática, de
diferentes formas.

•

Interpretar y resolver problemas medianteecuaciones lineales o
cuadráticas.

•

Proponer situaciones problemáticas factibles de representar y resolver
mediante ecuaciones lineales o cuadráticas

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Unidad 3
Ecuaciones lineales y cuadráticas
Ecuación lineal.
Una ecuación en la variable x es lineal si puede escribirse en laforma
ax + b = c,

en donde a, b y c son números reales, con a ≠ 0.

La ecuación lineal, en una variable, también se denomina ecuación de primer
grado, ya que la potencia más alta en la variable es uno.
Si la variable en una ecuación se reemplaza por un número real que hace que
la proposición sea verdadera, entonces ese número es una solución de la
ecuación. Por ejemplo, 8 es la soluciónde la ecuación y − 3 = 5, ya que al
reemplazar y con 8 se obtiene una proposición verdadera.
Una ecuación se resuelve determinando su conjunto solución, el conjunto de
todas las soluciones. El conjunto solución de la ecuación y − 3 = 5 es {8}.
Ecuaciones equivalentes: son ecuaciones con el mismo conjunto solución.
Por lo general, para resolver las ecuaciones se inicia con una ecuacióndeterminada y se produce una serie de ecuaciones equivalentes más sencillas.
Por ejemplo,
8 x + 1 = 17, 8 x = 16
y x=2
Todas son una ecuaciones equivalentes, ya que cada una tiene el mismo
conjunto solución, {2}.

Utilizamos las propiedades de suma y multiplicación de igualdades para
producir ecuaciones equivalentes.
Propiedades de la suma y la multiplicación de igualdades
Propiedades de lasuma de igualdades
Para todos los números reales a, b y c, las ecuaciones
a=b
y
a + c = b + c son equivalentes.
O sea, si se suma (o se resta), el mismo número a ambos miembros de una
ecuación, el conjunto solución no cambia
Propiedad de la multiplicación de igualdades
Para todos los números reales a, b y c , donde c ≠ 0, las ecuaciones
a=b
y
ac = bc son equivalentes.

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O sea si se multiplican (o se dividen) ambos miembros de una ecuación por el
mismo número diferente de cero, el conjunto solución no cambia.
EJEMPLO Resuelva 4 x − 2 x − 5 = 4 + 6 x + 3 .
Primero, reduzca términos semejantes de manera separada en ambos lados de
la ecuación para obtener:
2x − 5 = 7 + 6xLuego, utilice la propiedad de la suma para obtener los términos con x en el
mismo lado de la ecuación y los demás términos (los números) en el otro lado.
Una manera de hacerlo consiste en sumar primero 5 a ambos miembros.
2x − 5 + 5 = 7 + 6x + 5
2 x = 12 + 6 x

Ahora reste 6 x a ambos lados.
2 x − 6 x = 12 + 6 x − 6 x
− 4 x = 12

Por último, divida ambos entre -4 para obtener sólo la xen el lado izquierdo.
− 4 x 12
=
o sea x = −3
−4
−4
Para estar seguro de que -3 es la solución, verifíquela sustituyendo en la
ecuación original (no en una intermedia).

4x − 2x − 5 = 4 + 6x + 3

4(− 3) − 2(− 3) − 5 = 4 + 6(−3) + 3
− 12 + 6 − 5 = 4 − 18 + 3
− 11 = −11

Ecuación dada.
sea x = −3
Verdadera

Como se obtiene una proposición verdadera, -3 es la solución. El conjuntosolución es {− 3}
EJEMPLO: Resuelva 2(k − 5) + 3k = k + 6.
Comience por utilizar la propiedad distributiva para simplificar y reducir
términos del lado izquierdo de la ecuación.
2(k − 5) + 3k = k + 6
2k − 10 + 3k = k + 6

Propiedad distributiva

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5k − 10 = k + 6
Reduciendo...