Funciones

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Pontificia Universidad Catolica de Valpara´
ıso.
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Instituto de Matematicas.

Funciones reales

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MAT 154 Algebra II
Segundo Semestre 2013
Funciones
Definici´n: Dados dos conjuntos A yB, si a cada elemento de A se hace corresponder un unico
o
´
elemento de B, se dice que la correspondencia es una funci´n.
o
Esta correspondencia se denota por:
f : A → B (f es una funci´n de Aen B)
o
Es decir: f : A → B es funci´n ⇐⇒ ∀x ∈ A, ∃! y ∈ B/(x, y) ∈ f
o
Observaci´n:
o
1. Si a ∈ A, el elemento de B que le corresponde a a, bajo f se llama la imagen de a
y se denota por f (a).2. Si f : A → B, A se llama dominio de f y B codominio de f , claramente f ⊆ A×B
3. Llamaremos recorrido de f al subconjunto de B que forman los valores que toma
la funci´n. Note que: Rec f ⊆ BRec f = {f (a)/ a ∈ A}
o

Dominio y Recorrido
No siempre los elementos del conjunto de partida tendr´n una imagen en el codominio,
a
existen funciones que deben tener restricciones obvias, por suf´rmula de definici´n.
o
o
Ejemplo: f : R → R definida por f (x) =

1
,
x−2

f (2) =??

Como se ve claramente 2 no tiene imagen, luego la definici´n correcta ser´
o
ıa:
1
f : R − {2} → Rtal que f (x) = x−2

Del mismo modo es posible determinar el recorrido de toda funci´n. El prodedimiento no
o
presenta ninguna dificultad, es necesario averiguar qu´ restricciones presenta.
eEjemplo: f (x) =

1
x−2

haciendo y =

1
x−2

y despejando x se tiene:

x=

1 + 2y
y

Luego y = 0, por lo tanto Rec f = R − {0}

Gr´fico de funciones
a
Dada una funci´n f : A → B,como f ⊆ A × B, entonces f puede graficarse en un sistema
o
de ejes cartesiano A × B.
Es importante notar que en el gr´fico de cualquier funci´n, si trazamos l´
a
o
ıneas verticales,
paralelas aleje de las ordenadas (Y ), cada una de ellas contiene un unico punto de f .
´
Tambi´n, mediante el estudio de casos, podemos describir expl´
e
ıcitamente ciertas transformaciones de gr´ficas en el...