funciones

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Universidad Tecnológica Nacional

SISTEMAS DINÁMICOS I

Facultad Regional San Rafael

Comisiones 3 , 4 y 5
2013

FUNCIONES
DEFINICIÓN
Dados dos conjuntos numéricos llamamos función a una relación existente entre ambos de forma
tal que a cada elemento del primero le corresponde uno del segundo. La primera condición enunciada
suele llamarse de existencia y la segunda de unicidad.El primer conjunto se denomina dominio y el segundo codominio.
La relación así establecida resulta en un conjunto de pares ordenados, en los que el primer
elemento pertenece al primer conjunto, y el otro, llamado imagen (en algunos libros contradominio)
corresponde al segundo. El conjunto perteneciente al codominio y que agrupa a todas las imágenes se
llama conjunto imagen o simplemente imagen.La correspondencia se establece mediante una ley u
operación matemática que corresponde a alguna de las operaciones algebraicas o trascendentes .
La ley u operación matemática es una especie de
“mandato”.
Si la expresión (ley) es por ejemplo x2 + 1, al elemento x=2
del dominio le corresponde 22 + 1= 5.
Entonces 5 será la imagen de x=2.

Ley
Imagen

Los elementos del dominio sonllamados “variable
independiente” y los de la imagen “variable dependiente”
Dominio

Codominio

FUNCIONES Y EL PLANO COORDENADO
La relación entre los elementos de los dos conjuntos numéricos genera pares ordenados, donde el
primer elemento corresponde al dominio y el segundo, transformado por la “ley” será la imagen del
mismo. Los pares ordenados son de la forma (x,y). El conjunto de paresordenados, representados en un
diagrama cartesiano constituye la representación gráfica de la función. En el eje horizontal o de abscisas
se representan los elementos del dominio, y en el vertical o de ordenadas los elementos de la imagen.
Ordenadas
(x,y)

y

Abscisas
x

NOTACIÓN DE FUNCIONES
NOTACIÓN DE EULER
Esta escritura, la más difundida y aceptada sugiere dar un nombre a la función(f, g, h, u, etc) e
indicar entre paréntesis la variable independiente), seguida del signo igual y la expresión del modelo
propiamente dicho (ley u operación matemática)

2
f(x)= x 2
u(y)= 3 y + 2
v(t)= t2 − 3 t
Teniendo en cuenta que, como dijimos, por la definición de función, a un valor “x” (variable
independiente) de su dominio corresponde un f(x), que es un valor de ordenada “y”(único, variable
dependiente), decimos que el par ordenado (x, f(x)) pertenece a la función o que el par (x,y) pertenece a la
misma. Esto justifica que una función pueda adoptar una escritura de ecuación.
Si f(x)= x2 los pares ordenados serán (x, x2) y por lo tanto es equivalente escribir:

y = f(x)
En nuestro ejemplo:
f(x)= y = x2
Esto implica la siguiente conclusión:
Toda función admite unaescritura de ecuación. ¿Pero toda ecuación admite notación de función?. No. ¿Por
qué decimos esto?.
Por ejemplo, sea la ecuación:
2
2
x +y =4
Si explicitamos la variable dependiente “y” tenemos:
y = ± 4 − x2

Vemos que son necesarios dos modelos funcionales para reemplazar a la ecuación:
y = 4 − x 2 ;y = − 4 − x 2

Ambas gráficas son simétricas con respecto al eje “x”, lo que hace quela ecuación presentada no
pueda asimilarse a una función.
Por lo tanto podemos suponer que las funciones son un caso especial, privilegiado de ecuaciones.
Desde ya que esto nos permitirá realizar con ellas operaciones de manera más fácil que con ecuaciones.
En algunos casos se completa la escritura de la función indicando el dominio y conjunto de llegada
(no necesariamente coincidente con elconjunto imagen). Por ejemplo

f : ℝ → ℝ / f(x) = x2
Significa “la función f, definida de reales en reales tal que f(x)=x2”. Dicho de otra manera dice que
a cada elemento del conjunto de los reales le asignaremos una imagen también de los reales igual a su
cuadrado. No estamos obligados a que la totalidad de los reales del conjunto de llegada tengan una
“preimagen”, pero si cada número...