Funciones

Prácticas de Análisis Matemático I - Matemáticas - Universidad de Zaragoza

Práctica 2: Desigualdades y funciones
Los objetivos de esta práctica son:
• Analizar diversas órdenes de Maple que afectan a igualdades y desigualdades.
• Definir funciones reales de una variable real y efectuar operaciones entre ellas.
• Dibujar gráficas sencillas.
• Hacer sencillos ejercicios de programación conlos conceptos anteriores.

1. Funciones reales de una variable real. Desigualdades
Ejercicios resueltos
1) Resolver la desigualdad 3 x − 5 < 3.
Solución

Usamos la orden solve, con su sintaxis correspondiente, es decir, indicando cuál es la
incógnita:
> solve(abs(3*x-5) solve({abs(3*x-5)
x−1
2) Hallar los números que verifican simultáneamente las desigualdades:
=0},x);
{ 1 ≤ x, x ≤ 4}
El dominio es el intervalo cerrado [1, 4]. Para dibujar la curva usamos el comando plot
con sus especificaciones correspondientes (consultar en Help on "plot" o bien en
Help/Topic Search).
> plot(sqrt(log((5*x-x^2)/4)),x=1..4);

No es una semicircunferencia (nótese que la escala es diferente en cada eje).
>
x3 + x2 + x + 1
4) Definir la función f( x ) = 4
, hallar su dominio dedefinición y
x + x3 + 3 x2 + x + 2
simplificarla, si es posible..
Solución

> restart;
> f:=x->(x^3+x^2+x+1)/(x^4+x^3+3*x^2+x+2);
x3 + x 2 + x + 1
f := x → 4
x + x 3 + 3 x2 + x + 2
> solve({x^4+3*x^2+x^3+x+2=0});
11
11
{ x = I }, { x = −I }, { x = − + I 7 }, { x = − − I 7 }
22
22
Como las raíces del denominador son complejas (no reales), dicho denominador no se
anula en ningún punto deleje real. Por tanto el dominio de definición de f es todo R.
> simplify(f(x));
x+1
2
x +x+2
>
 x2 − 5 x + 6 
 y hallar su dominio de definición. Introducir a
5) Definir la función g( x ) = log 2


x +4x+6
su vez la función h( x ) = log( x − 2 ) + log( x − 3 ) − log( x2 + 4 x + 6 ) y hallar su dominio de
definición. ¿Son iguales las funciones g y h?
Solución

Borramos paraempezar todas las asignaciones que hayamos hecho:
> restart;
Definamos las funciones g y h:
> g:=x->log((x^2-5*x+6)/(x^2+4*x+6));
 x2 − 5 x + 6 

g := x → log 2


x +4x+6
> h:=x->log(x-2)+log(x-3)-log(x^2+4*x+6);

h := x → log( x − 2 ) + log( x − 3 ) − log( x2 + 4 x + 6 )
Veamos cuál es el dominio de la función g:
> solve({(x^2-5*x+6)/(x^2+4*x+6)>0});
{ x < 2 }, { 3 < x }La respuesta es suficientemente explicativa. La expresión es positiva en (-∞,2) U (3,∞) y,
por tanto, este es el dominio de definición de g. Ahora, el dominio de h:
> solve({x-2>0,x-3>0,x^2+4*x+6>0});
{3 < x}
El dominio de definición de h es el intervalo (3,∞).
Desde luego, los dominios de definición de h( x ) y g( x ) son diferentes luego, en rigor, no
son funciones iguales. Una sencillaoperación en el papel nos demuestra que si 3 < x,
ambas funciones coinciden. Maple nos puede demostrar este hecho de la siguiente manera:
> simplify(g(x)-h(x));
 (x − 2) (x − 3) 
 − ln( x − 2 ) − ln( x − 3 ) + ln( x2 + 4 x + 6 )
ln 2


 x +4x+6 
No hemos conseguido que simplifique. Precisamos algo más: queremos que considere que
3 < x ; ahora el resultado sí es el que queríamos:
>assume(x>3):simplify(g(x)-h(x));
0
>
6) Definir la función f( x ) = min( x , x − 1 ) . A continuación, definirla sin usar órdenes que
afecten a valores absolutos y mínimos.
Solución

> restart;
Definimos la función como en el enunciado:
> f:=x->min(abs(x),abs(x-1));
f := x → min( x , x − 1 )
Ahora, definimos la función de otra manera: si consideramos por separado los intervalos (
1
1−∞, 0) , [0, ) , [ , 1) y [1, ∞) , entonces es fácil ver que la función vale −x, x, 1 − x y
2
2
x − 1, respectivamente. Esto lo indicamos con la orden piecewise de la siguiente
manera (llamamos g a la nueva función):
> g:=x->piecewise(x

2 x2 + 9 x + 6
.
8) Resolver la desigualdad 1 ≤
x+2
Solución

>
>
>
>
9) Estudiar para qué números reales x se cumplen simultáneamente las...