funciones

representación gráfica
de funciones
Esta Unidad pretende ser una aplicación práctica de todo lo aprendido
hasta ahora en el bloque de Análisis. En ella nos centraremos en las
funciones polinómicas y racionales. Asimismo, usaremos el cálculo de
límites como instrumento para conocer las posibles asíntotas de una
función, así como su continuidad. Incluiremos también el estudio de
la derivadapara obtener los extremos relativos y la monotonía de una
función. A partir de la segunda derivada obtendremos los puntos de
inflexión y estudiaremos su curvatura.
Por esta razón la representación gráfica de funciones se considera
una de las aplicaciones del cálculo de límites y de las derivadas más
utilizada en las ciencias sociales y, en correspondencia, es uno de los
temas de ejerciciosmás frecuentes en las PAU.

representación
gráfica de una
función

Información
extraída de la
función

Dominio

Simetría

Continuidad

Cortes con
los ejes
Intervalos de
signo constante

Asíntotas

Información
extraída de la
primera derivada

Extremos
relativos

Monotonía

Información
extraída de la
segunda derivada

Puntos de
inflexión

Curvatura

08

19608

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES

j 8.1 Información extraída de la función
A. Dominio

El dominio de una función real de variable real dom f, es el conjunto de valores de la variable independiente x para los que está definida la función.

dom f = {x ∈ R / f ( x ) ∈ R}

A continuación analizaremos el dominio de algunos tipos de funciones:
Función

Ejemplos

Polinómica•  El dominio de f ( x ) =

dom f = R

Importante
Para calcular el dominio de una
función racional, no se simplifica
la fracción racional que la define.

1 2
x + 3 x − 5 es R.
2

Racional
f (x) =

p( x )
q( x )

x +1
los valores que anulan el denominador
x2 − 5x + 6
son las soluciones de la ecuación:

•   i f ( x ) =
S

⇒ dom f = R – {x ∈ R / q( x ) = 0}

x2 − 5x + 6 =0
es decir:
x=2yx=3⇒
⇒ dom f = R − { 3} = (−∞, 2) ∪ (2, 3) ∪ (3, ∞)
2,
•  Si f ( x ) =

x
⇒
x( x + 5)

⇒ dom f = R − {−5, 0} = (−∞, − 5) ∪ (−5, 0) ∪ (0, ∞)

Exponencial
f ( x ) = a g( x ) a > 0, a ≠ 1

•  Si f ( x ) = e2 x + 3 ⇒ dom f = R

⇒ dom f = R.

Logarítmica
f ( x ) = loga ( g( x ))

a > 0, a ≠ 1

⇒ dom f = {x ∈ R / g( x ) > 0}.

•   i f ( x ) = ln(4 − x 2 )
S⇒ dom f = (−2, 2)
que son las soluciones de 4 – x2 > 0.

Irracional
f ( x ) = n g( x )
—  n es par:
Si
dom f = {x ∈ R / g( x ) ≥ 0}
—  n es impar:
Si
dom f = R

•   i f ( x ) = 2 − x
S

⇒ dom f = (−∞, 2]
que son las soluciones de la inecuación 2 − x ≥ 0 .
•  Si f ( x ) =

3

x +2

⇒ dom f = R.
•   i f ( x ) =
S

1
x +2

⇒ dom f = (−2, ∞)
pues son las soluciones dex + 2 > 0.

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES

B. Simetría
Las gráficas de las funciones pueden presentar varios tipos de simetrías, aunque solo estudiaremos dos:
1)  na función f es simétrica respecto del eje de ordenadas o eje Y si para cualquier punto x
U
de su dominio se cumple que f(–x) = f(x). A las funciones cuya gráfica presenta esta simetría
se les llama funciones pares.2)  na función f es simétrica respecto del origen de coordenadas si para cualquier punto x
U
de su dominio se cumple que f(–x) = –f(x). A las funciones cuya gráfica presenta esta simetría se les llama funciones impares.
Si sabemos que una función presenta cualquiera de estos dos tipos de simetría basta con
construir su gráfica en los puntos en que x ≥ 0. Por simetría, podemos dibujar el restode la
gráfica.

E J E M P LO 1
1.  a gráfica de la función f ( x ) =
L

2x2 + 7
es six − 3x2 + 5

Y

4


métrica respecto del eje Y, ya que la función f(x)
es par. Veámoslo:
f (− x ) =


2x2 + 7
2(− x )2 + 7
= 4
= f(x)
4
2
x − 3x2 + 5
(− x ) − 3(− x ) + 5

x

X

2.  a gráfica de la función g( x ) = x 3 − x es simétrica respecto al origen de coordenadas,...