Funciones

FUNCION
Una función es una correspondencia entre conjuntos que se produce cuando cada uno de los elementos del primer conjunto se halla relacionado con un solo elemento del segundo conjunto. Estamos en presencia de una función cuando de cada elemento del primer conjunto solamente sale una única flecha.
No estamos en presencia de una función cuando:
• De algún elemento del conjunto departida no sale ninguna flecha.
• De algún elemento del conjunto de partida salen dos o más flechas.
Podemos imaginarnos la función como una máquina a la que se le suministra unos datos y que obtiene un valor.
A veces esta 'máquina' no funciona con determinados valores. Al conjunto de valores de la variable para los que la función existe (para los que la 'máquina' funciona) se llama dominio dedefinición de la función.
Una función obtiene un valor, pero esto no quiere decir que se obtengan todos los valores que se nos antojen. El conjunto de valores que se obtienen a partir del conjunto de valores del dominio de definición se llama recorrido de la función.
CLASIFICACION DE LAS FUNCIONES
• Función Inyectiva:
Una función es inyectiva si cada f(x) en el recorrido es la imagen deexactamente un único elemento del dominio. En otras palabras, de todos los pares (x,y) pertenecientes a la función, las y no se repiten.
Para determinar si una función es inyectiva, graficamos la función por medio de una tabla de pares ordenados. Luego trazamos líneas horizontales para determinar si las y (las ordenadas) se repiten o no.
Ejemplo:
 
• Función Sobreyectiva:
Sea f una funciónde A en B , f es una función epiyectiva (tambien llamada sobreyectiva) , si y sólo si cada elemento de B es imagen de al menos un elemento de A , bajo f .
A elementos diferentes en un conjunto de partida le corresponden elementos iguales en un conjunto de llegada. Es decir, si todo elemento R es imagen de algún elemento X del dominio.
Ejemplo:
A = { a , e , i , o , u }
B = { 1 , 3 , 5 , 7 }
f= { ( a , 1 ) , ( e , 7 ) , ( i , 3 ) , ( o , 5 ) , ( u , 7 ) }
Simbólicamente:
f: A B es biyectiva Û f es inyectiva y f es sobreyectiva
Ejemplo:
• Función Biyectiva:
Sea f una función de A en B , f es una función biyectiva , si y sólo si f es sobreyectiva e inyectiva a la vez .
Si cada elemento de B es imagen de un solo elemento de A, diremos que la función es Inyectiva. En cambio, lafunción es Sobreyectiva cuando todo elemento de B es imagen de, al menos, un elemento de A. Cuando se cumplen simultáneamente las dos condiciones tenemos una función BIYECTIVA.
Ejemplo:
A = { a , e , i , o , u }
B = { 1 , 3 , 5 , 7 , 9 }
f = { ( a , 5 ) , ( e , 1 ) , ( i , 9 ) , ( o , 3 ) , ( u , 7 ) }
Teorema:
Si f es biyectiva , entonces su inversa f - 1 es también una función y ademásbiyectiva.

Clase 13 - Funciones
 
Esta clase veremos una introducción a las funciones, uno de los temas más importantes de la matemática. No es necesario saber mucha teoría acerca de funciones para poder resolver problemas complejos e interesantes como veremos en las situaciones que proponemos hoy.
Antes de ver los problemas hagamos un repaso (o una introducción en caso de que nunca lo hayanvisto) a las funciones.
Una función f : A --> B asigna a cada elemento del conjunto A un elemento del conjunto B. Veamos algunos ejemplos:
• Sea f : R --> R tal que f(x) = x² es la función que a cada número real le asigna su cuadrado, que es un número real.
• Sea f: Q --> Z tal que f(p/q) = p.q donde p y q son enteros coprimos.
El conjunto A se denomina dominio y es el conjunto de partidade la función y el conjunto B se llama codominio. Sin embargo, puede que la función no alcance a todo el conjunto B. Por ejemplo, la primer función que les mostramos alcanza sólo a los reales no negativos.
Al conjunto que alcanza la función se lo denomina imagen de f y definido correctamente es el conjunto {y pertenecientes a B tal que existe x perteneciente a A con f(x) = y}.
Por ejemplo, en...