funciones

1. Función constante
Si f(x) = c C R es f´(x) = 0

Demostración:
Paso 1: f(x + h) = c
Paso 2: f(x) = c
Paso 3: f(x + h) - f(x) = c - c = 0
Paso 4: [f(x + h) - f(x)]/h = 0
Tomando el límitecuando h -->0 obtenemos:
f´(x) = 0


2. Función identidad
Si f(x) = x es f´(x) = 1

Demostración:
Paso 1: f(x + h) = x + h
Paso 2: f(x) = x
Paso 3: f(x + h) - f(x) = x + h - x = h
Paso4: [f(x + h) - f(x)]/h = h/h = 1
Tomando el límite cuando h -->0 obtenemos:
f´(x) = 1


3. Función logarítmica
Si f(x) = ln(x) es f´(x) = 1/x

Demostración:



NOTA
Esta derivada es muyimportante, ya que, junto con la regla de la cadena, nos va a simplificar el cálculo de la mayoría de las derivadas.
4. Derivada de una potencia
Si f(x) = x a, con a C R, es f´(x) = a · x a-1
Parademostrar esta propiedad vamos a utilizar un método llamado derivación logarítmica.
El método se suele usar para calcular la derivada de una función en la que la variable aparece en el exponente.Tomando logaritmos, el exponente pasa multiplicando al logaritmo de la base, y sólo hay que derivar un producto.

Demostración:
f(x) = x a
ln(f(x)) = ln[x a] = a · ln(x). Derivando en ambos mienbros:[ln(f(x))]´ = [a · x]´, y teniendo en cuenta la regla de la cadena:
f´(x)/f(x) = a/x. Despejando:
f´(x) = [a · f(x)]/x = [a · x a]/x = a · x a - 1


5. Función exponencial
Si f(x) =e x es f´(x) = e x

Demostración:
Vamos a calcular esta derivada por derivación logarítmica:
Llamamos y = e x
Tomamos logaritmos: ln(y) = ln[e x] = x · ln(e) = x
Ahora derivamos, teniendo en cuenta que y esuna función de x, y por lo tanto hay que aplicar la regla de la cadena: y´ / y = 1
Despejando y sustituyendo: y´ = y = e x


6. Función exponencial de base a > 0
Si f(x) = a x es f´(x) = a x ·ln(a)

Demostración:
Vamos a calcular esta derivada por derivación logarítmica:
Llamamos y = a x
Tomamos logaritmos: ln(y) = ln[a x] = x · ln(a)
Derivando: y´ / y = ln(a)
Despejando y...