funciones

INTRODUCCIÓN A LA TEORíA DE FUNCIONES
GERMAN TELLEZ CASTILLO

Abstract. Capítulo IV del Curso de matemática Discreta
E n cualquier teoría particular, sólo hay
de
ciencia real lo que haya de m atem áticas.
Im m anuel Kant(1724-1804)

1. Introducción
En este capítulo revisaremos otro de los conceptos centrales de la matemática,
las funciones. Éste concepto a pesar de su importancia fueestablecido formalmente
en el siglo XX.

2. Conceptos básicos
De…nición: Una función de un conjunto A a un conjunto B, es una relación
de A en B, tal que, cada elemento de A está relacionado exactamente con un único
elemento del conjunto B. El conjunto A es llamado el dominio de la función y el
conjunto B el codominio o contradominio de la función.
Observaciones:
Una función f es unarelación de A en B con dos restricciones:
i ) Cada elemento del conjunto A, el dominio de f, debe estar relacionado por la
regla de…nida por f.
ii ) La frase está relacionado exactamente con un elemento del conjunto B, signi…ca que:
Si ((a; b) 2 f ^ (a; c) 2 f ) ) b = c
Notación:
Si f es una función del conjunto A en el conjunto B, escribiremos f : A ! B y se
lee:
f es una función del conjuntoA en el conjunto B.
Observación:
Los términos mapeos y transformaciones también son usados para referirse a
las funciones.
Date : Octubre del 2007.
1991 Mathematics Subject Classi…cation. Primary 05C38, 15A15; Secondary 05A15, 15A18.
Key words and phrases. funciones, inyectiva, sobreyectiva, biyectiva, cardinalidad.
G Tellez-Castillo.
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GERM AN TELLEZ CASTILLO

De…nición: Sea f : A ! B , si a 2 A ) f (a) es usado para denotar que a
está relacionada con un elemento de b 2 B . f (a) es llamada la imagen de a, o la
imagen de a bajo f.
Escribiremos: f (a) = b para indicar que la imagen de a es b.
De…nición: La imagen de una función, es el conjunto de imágenes de los
elementosdel dominio, y se denota por f (dominio) o Im(f ).
i.e., Si f : A ! B , entonces:
f (A) = f f (a): a 2 Ag = fb 2 B :9 a 2 A tal que f (a) = bg =
Im(f )
Observaciónes:
i ) f (A) Codominio de la función.
ii ) f (A) se lee la imagen del conjunto A bajo la función f o la imágen de
f.
iii ) La imagen de un elemento (del dominio) es un elemento del codominio de B.
La imagen de una función es unconjunto, llamado el conjunto de todas las imágenes
de los elementos del dominio.
Ejemplo: Sea R el conjunto de los números reales: Si L = { (x, 3x ): x 2 R} ,
entonces, L es una función de R en R o simplemente, L es una función en R
Ejemplo: Sea f: R ! R tal que:
f (x ) = x 2
Example 2.1. es una alternativa a la descripción de f = { (x, x2 ): x 2 R }
y 2 Im(f) , x 2 R x 2 = y ) y
0
i.e.,Im(f ) = Im(x 2 ) = fy 2 R: y
0g
Ejemplo: Sea f : R ! R de…nida por: f (x ) =
función f.

3x
x2 +1

Hallar la imagen de la

Por de…nición
3x
y 2 Im(f ) , y = x2 +1 para algún x 2 R
, yx 2 + y = 3x
, yx 2 3x + y = 0
resolviendo la cuadrática:
p
3
9 4y 2
x =
2y
existe solución real
, y 6= 0 ^ 9 - 4y 2
0
i.e.,
9
3
y2
4 , j y j
2
3
y
y 6= 0
, -3
2
2 ^
3
3
) paray 6= 0 ^ - 2
y
2 9 x 2 R : f (x ) = y
i.e.,
3 3
3
3
Im(f ) =
y
2; 2 = y 2 R :
2
2
Ejercicio: Determine la imagen de cada una de las siguientes funciones:
2
i ) f : R ! R, f (x ) = xp + 2
ii ) f : R ! R, f (x ) = x2 + 1
(x+2)
iii ) f : R ! R, f (x ) = (x2 +5)
De…nición: Si f: A ! B es una función, entonces G[f ] = f(a; f (a)) : a 2 Ag,
es una grá…ca en A
B , y se llama grá…ca dela función f

FUNCIONES

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i.e., toda función induce una grá…ca.
Propiedades:
i ) El conjunto G[f ] es un subconjunto de A
B, porque:
(a; b) 2 G[f ] , a 2 A y b = f (a)
)a2 A^b2 B
) (a; b) 2 A
B
ii ) Supongamos que: a 2 A ) 9 b = f (a) 2 B por ser f una función de A
en B, entonces (a; b = f (a)) 2 G[f ]
i.e., todo elemento de A aparece como primera coordenada de cuando menos...