funciones

9 VECTORES Y RECTAS

PA R A

1

E M P E Z A R

Copia y completa la siguiente tabla correspondiente a una función lineal. ¿Cuál es su fórmula?
x

؊2

0

1

2

3

…

x

y

Ϫ7

1

5

9

13

…

y ϭ 4x ϩ 1

La fórmula es y ϭ 4x ϩ 1
2

Representa en los mismos ejes de coordenadas las siguientes rectas.
a) y ‫2 ؍‬x

b) y ‫2 ؍‬x ؊ 3

x

…

Ϫ1

0

1…

Ϫ2

0

2

…

y ‫2 ؍‬x ؊ 3

…

Ϫ5

Ϫ3

Ϫ1

…

y ‫2 ؍‬x ؉ 5

…

3

5

7

Y

…

y ‫2 ؍‬x

c) y ‫2 ؍‬x ؉ 5

…

y = 2x

y = 2x +5
2
O

X
2
y = 2x –3

Las rectas son paralelas.
3

Representa las rectas y ‫3 ؍‬x ؉ 2, e y ‫3– ؍‬x ؉ 2. ¿Qué diferencia observas entre ellas?
x

…

Ϫ1

0

1

y ‫3 ؍‬x ؉ 2

…

Ϫ1

2

5

…

y‫3؊ ؍‬x ؉ 2

…

Ϫ5

2

Ϫ1

Y

…

…

y = 3x +2
2

Las dos rectas tienen la misma ordenada en el origen, pero distinta pendiente.
En la primera, cuya pendiente es positiva, al crecer x crece la y (es creciente),
en la segunda, al crecer x decrece la y (es decreciente).
4

y = –3x +2
O 2
X

En el triángulo rectángulo de la figura calcula:
p
b) La tangente del ángulo B .

a)La longitud del cateto desconocido.

a) Por Pitágoras: 5 ϭ 3 ϩ c → 25 ϭ 9 ϩ c ⇒ c ϭ ͙25 Ϫ 9 ϭ ͙16 ϭ 4 m
ෆ
ෆ
2

2

2

2

3m
^

B
3m

$ 4
a) tg B ϭ ᎏᎏ ϭ 1,33
3
5

Representa las siguientes rectas y halla la tangente del ángulo que forman con el eje de abcisas.
a) La bisectriz del primer cuadrante.

b) La recta de ecuación y ‫2 ؍‬x ؉ 3

a) La bisectriz del primercuadrante
pasa por el punto (1, 1) ⇒
1
⇒ tg ␣ ϭ ᎏᎏ ϭ 1
1

b) La recta y ϭ 2x ϩ 3 pasa por los puntos

Y

5Ϫ1
(1, 5) y (Ϫ1, 1) ⇒ tg ␤ ϭ ᎏᎏ ϭ 2
1 Ϫ (Ϫ1)

Y

1
1
O
74

1

X

O

1

X

6

En unos determinados ejes de coordenadas, la recta representada por el rayo láser de la ilustración pasa
por los puntos A(1, 1) y B(4, 1). Halla la ecuación de esa recta.
Si la ecuación dela recta es y ϭ mx ϩ n, las coordenadas de A y B deben de satisfacer su ecuación.

·

1ϭmϩn
⇒ 3m ϭ 0 ⇒ m ϭ 0 ⇒ n ϭ 1 ⇒ La ecuación de la recta es y ϭ 1.
1 ϭ 4m ϩ n

Vectores en el plano
PA R A

P R A C T I C A R

9.1 Dibuja dos vectores que tengan el mismo módulo, dirección y sentido, y tales que el origen de uno de
ellos coincida con el extremo del otro.
៮៬ ៮៬
Los vectores AB yBC tienen el mismo módulo, dirección y sentido y el origen
៮៬ coincide con el extremo de AB .
៮៬
de BC

A

B

C

9.2 Dibuja en papel cuadriculado un vector que tenga:
៮៬
a) El mismo módulo y la misma dirección, pero distinto sentido que AB.
៮៬
b) Distinto módulo, pero la misma dirección y el mismo sentido que AB.
៮៬
c) El mismo módulo, pero distinta dirección que AB.

Y
B
1
OA

AB
X

1

៮៬
a) El vector CD tiene el mismo módulo y la misma dirección, pero distinto sentido que AB.
Y

D
C

1
O

X

1

៮៬
b) El vector EF tiene distinto módulo, pero la misma dirección y el mismo sentido que AB.
Y

F
E

1
O

X

1

៮៬
c) GH tiene el mismo módulo, pero distinta dirección y distinto sentido que AB.
Y
1

H

O

X

1
G

9.3 Lospuntos B y C dividen el segmento AD en tres partes iguales.
Indica cuáles de los siguientes vectores son equipolentes:
៮៬ ៮៬ ៮៬ ៮៬ ៮៬
៮៬
AB, AC , CD, CB , BD y DA.
A

B

C

D

៮៬ ៮៬
៮៬ ៮៬
៮៬ ៮៬
AB y CD son equipolentes, AC y BD son equipolentes, CB y DA no son
equipolentes a ninguno de los demás vectores.

៮៬
9.4 Dibuja en papel cuadriculado 3 representantes del vector libre v‫.)3؊ ,1( ؍‬
Y
2 v2
O 2

៮ ៮
៮
៮
Los vectores v៬1, v៬2 y v៬3 son tres representantes del vector libre v៬.
X

v1 v3

75

E j e r c i c i o

r e s u e l t o

៮៬
៮៬
9.5 Halla las coordenadas de B sabiendo que el vector AB es un representante del vector v .

Y

៮
៮
Las coordenadas del vector v៬ son: v៬ ϭ (2, 2).

A

៮៬
៮៬
Las coordenadas de A son (1, 2), por lo que...