funciones

Tema:
INTERVALOS, INECUACIONES LINEALES Y SUS APLICACIONES
INTERVALOS
Definición: Se llama intervalo en la Recta Real, a todo subconjunto de la misma
comprendido entre dos puntos fijos llamados extremos.

 Ejemplo de Intervalo: I  a, b ; donde a es el extremo inferior del intervalo, b es el
extremo superior del mismo y a  b .
OBSERVACIONES Conviene recordar:

 a  b se lee “amenor que b”, es una desigualdad estricta.
 b  a se lee “b mayor que a”, es una desigualdad estricta.
 a  b se lee “a menor o igual que b”, es una desigualdad no estricta.
 Si a  b y b  a , entonces se puede concluir que: a = b.
 Cuando a y b no son iguales se escribe: a  b .
PROPIEDADES

 Propiedad transitiva, si a  b y b  c , entonces a  c , dicho lo mismo de otro
modo:

si a b y b  c  a  c, y además a  b  c

 Si a  b y c  d, entonces  a  c  b  d .
 Si se multiplican los dos miembros de una desigualdad por un mismo número,
positivo, la desigualdad no varía, esto es:

si a  b y c  0  a  c  b  c

 Si se multiplican los dos miembros de una desigualdad por un mismo número
negativo, cambia el sentido de la desigualdad, esto es:

si a  b y c 0  a  c  b  c .

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 Si dos números cualesquiera, del mismo signo, cumplen una determinada
desigualdad; sus inversos cumplen la desigualdad contraria, esto es:

si a  b  ab  0 

1 1

a b

CLASES DE INTERVALOS:

EJERCICIOS PROPUESTOS:
1. Grafica los siguientes intervalos.
a. [-3,4]

b. ]-9,-1]

c. [-2,7[

d.]-1,5[

Solución:

a.

c.

-3

4

b.

d.
-2

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7

-9

-1

-1

5

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2. Dados los intervalos: A= [-2,6] y
B=]-4,4[
Dibujar sobre la recta real y escribir con notación de intervalo el resultado de las
siguientes operaciones. a) AUB
b) A B
c) A B
d) Ac
Solución
Al graficar en la recta real el intervalo A y B, se tiene:-4

-2

6

4

El intervalo solución es

c.

-2

4

a.

-4

, .

6

b.

4

6

El intervalo solución es [4;6].

d.
-2

El intervalo solución es

, .

6

El intervalo solución es ;  2  6;  .

INECUACIONES
A veces se dan unas condiciones en las que, en lugar de aparecer el
signo igual, hay que utilizar otros signos llamados de desigualdad.
Unafurgoneta pesa 875 kg. La diferencia entre el peso de la
furgoneta vacía y el peso de la carga que lleve no debe ser inferior
que 415 kg. Si hay que cargar cuatro cajones iguales, ¿cuánto puede
pesar, como máximo, cada uno de ellos para poder llevarlos en esa
furgoneta?
En primer lugar, traducimos el enunciado al lenguaje simbólico, llamamos x al peso de
cada cajón y planteamos la siguienteinecuación:
Peso de la furgoneta+ peso de 4 cajones

no es menor que 415 kg

875 + 4(x) 415
DEFINICIÓN: Una inecuación es una desigualdad en las que hay una o más cantidades
desconocidas (incógnita) y que sólo se verifica para determinadas valores de la incógnita o
incógnitas.

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INECUACIONES DE PRIMER GRADO
Si el grado de la inecuaciónes uno, se dice que la inecuación es lineal. Una inecuación de
primer grado es una expresión de la forma:

ax  b  0 , ax  b  0 , ax  b  0 ó ax  b  0
donde a  0 . Se resuelve despejando la incógnita x .
Ejemplo 1:

Resolver la inecuación:

x  2 x 3

5
3
2

Solución: El mínimo común múltiplo de los denominadores es 6.

2( x  2)  3( x  3)
5
6
2 x  4  3x  9
56
5x  5
 5  5 x  5  30
6

5 x  30  5  5x  35
x

35
 x7
5



Es decir, el conjunto solución de la inecuación planteada es el intervalo 7, .
Ejemplo 2:




2
3

Resolver la inecuación 3 x   

1
( x  3)  2 x
2

Solución:

2 1

3 x    ( x  3)  2 x
3 2

3x  2 

( x  3)  4 x
2

3x  2 

3x  3
2

6 x  4  3x ...