Funciones

Unidad I- Funciones.
I- Conceptos Previos:
1- Relación: Sean A y B dos conjuntos no vacíos, una relación de A B es una
regla que asocia elementos del conjunto de partida “A” con elementos del
conjunto de llegada “B”, formando pares ordenados (a,b). Se puede
representar por tablas, pares ordenados, diagrama sagital.
2- Función: Relación en la que cada elemento del conjunto de partidatiene
una sola imagen en el conjunto de llegada (Cada elemento del conjunto de
partida está relacionado una sola vez.
3- Dominio de una función: Son todos los valores de la variable
independiente (generalmente “X”), que permiten a la función (“Y” o f(x)),
arrojar valores reales. Debe coincidir completamente con el conjunto de
partida.
4- Rango de una función: Son elementos del conjunto dellegada que son
imágenes.
5- Función Real de Variable Real: Aquella cuyo dominio y rango pertenecen
al conjunto de los números reales.
6- Conjunto de los Números Reales ( ):

II- Dominio de Funciones Reales:

1- Funciones Polinomiales:
El Dominio de una función polinómica en el Numerador son Todos los
números reales:
.
El Rango se determina por gráfica.

1

Eileen Sánchez deCoronado

1-a) Función Lineal o Afín:
Tiene la forma general

;

Donde m= pendiente de la recta que indica su inclinación.
b= corte con el eje “Y”.
El Dominio de la función son todos los números reales.

.

El Rango son todos los números reales.

2

Para graficar una función afín sólo hacen falta dos puntos, y el método a
utilizar será el de Corte con los Ejes.
Para calcular el cortecon el eje “Y”, se hace X=0.
¡Siempre!
Para calcular el corte con el eje “X”, se hace Y=0.

Ejemplo: Grafique la función
 Calculando el corte con el eje “Y” (Se hace X=0)
Y=2*0 – 1 → Y=-1 → Se obtiene el punto P1(0,-1)
 Calculando el corte con “X” (Se hace Y=0)
0=2x – 1 → x= ½ → Se obtiene el punto P2(½,0)
2

Y=2X-1

Y

1
0
-2

-1

X
0

-1
-2

Figura 1

1

2Eileen Sánchez de Coronado

1-b) Casos Especiales:
i) Función Constante:
El Dominio de una función polinómica constante Siempre son todos los
números reales:
.
El Rango, determinado por gráfica, es el número “c”, o corte con el eje
“Y”.
.
Y=1

3

Y

2
1
0

-2

-1

0

1

2 X

-1
-2

Figura 2

ii) Cuando la recta pasa por (0,0):

(Es decir, b=0)

El Dominio dela función son todos los números reales:
El Rango, determinado por gráfica, es

.

.

Como el corte con “X” y el corte con “Y” son iguales, P1 y P2 son iguales,
entonces la recta pasa por (0,0), y es necesario utilizar un valor adicional de
“X” para calcular el otro punto por donde va a pasar la recta.
Por ejemplo, para Y=3X, el corte con “Y” es igual al corte con “X”, porque b=0.
Altomar X=1 (Se puede tomar un valor cualquiera, porque el dominio de esa
función afín son todos los reales), resulta lo siguiente:
Cuando X=1, entonces Y= 3*1, Y=3, y el punto generado es (1,3). La gráfica es:

Eileen Sánchez de Coronado
2

Y

1

Y=3X

0
-2

-1

0

1

2 X

-1
-2

Figura 3
1-c) Fórmula Punto-Pendiente de una función afín:
Se utiliza para determinar lafórmula de la recta que pasa por dos
puntos conocidos.

Donde

es un punto por el que pasa la recta

m= es la pendiente de la recta, y se calcula por la fórmula

Ejemplo: Determine la fórmula de la función afín que pasa por (-3,2) y (0,1).
Primero se calcula “m”… Para ello, se decide cuál de los dos puntos contiene
a
ya
, y se sustituyen en la fórmula, por ejemplo:

Se sustituye elvalor de “m” y uno de los dos puntos dados en el enunciado
será ahora
en la fórmula punto-pendiente:

Aplicando la propiedad distributiva en el segundo miembro de la ecuación, y
efectuando las operaciones, se tiene que:
;

y despejando resulta que:

4

Eileen Sánchez de Coronado

1-d) Función Cuadrática:
Tiene la forma general
Donde

;

= término cuadrático

b= término...