Funciones

FUNCIONES
Conceptos Generales Definiciones – Inyectividad – Epiyectividad – Operaciones entre Funciones – Inversa de una Función

FUNCIONES
Una función es una relación que cumple dos condiciones particulares, es decir, una función es un tipo especial de relación. Sean A y B dos conjuntos ≠ ∅. Diremos que f es una función de A en B, ssí, f es una relación de A en B que cumple simultáneamentecon:
Dominio de f es A. Quiere decir que todo elemento de A debe tener un elemento correspondiente en B. afb y afb’ ⇒ b=b’. Quiere decir que cada elemento de A debe tener a lo más una imagen en B.

Notación: f = {(x,y) ∈ A x B/P(x,y)}
(x,y) ∈ f ⇔ xfy / Notación de relaciones xfy ⇔ y = f(x) / Notación de funciones

Toda función se clasifica o caracteriza mediante tres elementos:
Su dominio(conjunto de partida) Su recorrido (conjunto de llegada), y Su ley

Definición: Sean A y B dos conjuntos ≠ ∅. La relación f: A → B, se llamará función de A en B ssí: i) (∀ x ∈ A)(∃ y ∈ B)(y = f(x)) ii) (x1 = x2) ⇒ f(x1) = f(x2)
7

Estas dos expresiones resumirse en una sola:
(∀ x ∈ A)(∃! y ∈ B)(y = f(x))

pueden

6 5 4 3 2 1 0 -6 -4 -2 -1 0 -2 -3 2 4

Ejemplo: f: ℜ → ℜ / y= x + 3Graficamente:

Dominio y recorrido de una función
Sea f: A → B una función x ~> y = f(x) Dom f = {x ∈ A / (∃ y ∈ B)(y = f(x))} = A Rec f = {y ∈ B / (∃ x ∈ A)(y = f(x))} ⊆ B

A Dom f f

B Rec f

En este caso f no es función

A Dom f

f

B Rec f Dom f

A

f

B Rec f

En este caso f sí es función

En este caso f sí es función

Algunas funciones especiales
Función IdentidadEs una función que a cada x del dominio le hace corresponder el mismo x en el recorrido. Es una función del tipo f: A → A x ~> y = f(x) ≅ x A esta función se le denota por IdA

A

IdA

B

Función Constante
Es una función que a cada x del dominio le hace corresponder un elemento constante “c” en el recorrido. Es una función del tipo f: A → B x ~> y = f(x) ≅ c

A

f

B

Operacionesentre funciones
Sea f: A → ℜ una función, y x ~> y = f(x) Sea g: B → ℜ una función x ~> y = g(x)

i. Suma de funciones, f + g: (A∩B) → ℜ
x ~> y = (f + g)(x) ≅ f(x) + g(x)

ii. Producto de funciones, f º g: (A∩B) → ℜ
x ~> y = (f º g)(x) ≅ f(x) º g(x)

iii. Ponderación de funciones, λf: A → ℜ
x ~> y = (λf)(x) ≅ λf(x)

iv. Cuociente de funciones, f/g: (A∩C) → ℜ
x ~> y = (f/g)(x) ≅ f(x) /g(x) Donde C = {(x∈ B)(g(x)≠ 0} ⊆ B

Funciones Inyectivas
Funciones Inyectivas (o funciones uno a uno) Intuición gráfica, son aquellas funciones para las cuales a cada elemento de su recorrido le corresponde sólo un elemento en el dominio.
A

f

B

A

f

B

Es función Inyectiva

No es función Inyectiva
Un mismo elemento del recorrido tiene 2 preimágenes.

Definición
Sea f:A → B una función x ~> y = f(x) Se llamará inyectiva ssí podemos demostrar que para todo elemento de A: (x1 ≠ x2 ⇒ f(x1) ≠ f(x2), ó a través de su contyrareciproco: f(x1) = f(x2) ⇒ (x1 = x2) Esto nos indica que si tenemos dos imágenes iguales, entonces la preimágen debe ser la misma. Ejemplos: 1. Sea f: ℜ - {1} → ℜ una función, revisar si es inyectiva. x ~> y =

3x − 2 x −1

2. Sea f: ℜ → ℜuna función, revisar si es inyectiva. x ~> y = x2

Observación: A partir del gráfico de una función se puede identificar si es inyectiva, esto ocurre cuando al trazar cualquier recta horizontal por un punto del recorrido, ésta corta, a lo más, en un solo punto la gráfica de la función.

Es función Inyectiva

No es función Inyectiva
Un mismo elemento del recorrido tiene 2 preimágenes.

-4-3

-2

30 y 25 20 15 10 5 0 -5 0 -1 -10 -15 -20 -25 -30

11 y 9 7
x 4

5 3 1 -4 -3 -2 -1 -1 0 -3 x 1 2 3 4

1

2

3

Funciones Epiyectivas
Funciones Epiyectivas (Recorrido es igual al Codominio) Intuición gráfica, son aquellas funciones para las cuales todo elemento de su recorrido le corresponde un elemento en el dominio.
A

f

B

A

f

B

Es función...