funciones

Teorema de Rolle y Teorema del Valor Medio
En la fig. 4.9 se puede apreciar la gráfica de una función que es contínua en el intervalo cerrado [a, b], 0)()(==bfaf y además existe (no tiene picos)en todos los puntos del intervalo (a, b). )('xf
fig. 4.9
Intuitivamente, puede verse que existe por lo menos un punto P de la curva, de abscisa c entre a y b, en el cual la recta tangente a lacurva es horizontal (paralela el eje x).
Este resultado se establece con toda generalidad en el llamado Teorema de Rolle que se enuncia sin demostración.
TEOREMA 1 (TEOREMA DE ROLLE)
Sea f unafunción de variable real que satisface las siguientes propiedades:
i. f es continua en el intervalo cerrado [a, b].
ii. f es derivable en el intervalo abierto (a, b).
iii. . 0)()(==bfaf
Entonces,existe por lo menos un punto ()ba,c∈ tal que: . 0)('=cf
El siguiente teorema que se enuncia y se demuestra a continuación, es una generalización del teorema de Rolle y se conoce con el nombre delteorema del valor medio para derivadas.
TEOREMA 2 (T.V.M.)
Sea f una función de variable real que satisface las siguientes propiedades:
i. f es contínua en el intervalo cerrado [a, b].
ii. f esderivable en el intervalo abierto (a, b).
Entonces, existe por lo menos un punto ()ba,c∈ tal que: abafbfcf−−=)()()('
Antes de ver la demostración del teorema, analice su significado geométrico.
En lafig. 4.10 se muestra la gráfica de una función que satisface las hipótesis del T.V.M.
fig. 4.10
El término [])()()(abafbf−− es la pendiente de la recta secante a la curva que pasa por los puntos Ay B. De esta forma, se puede interpretar geométricamente el teorema así: Existe un punto P sobre la curva de abscisa c, (
bac, ) ∈ tal que la recta tangente a la curva en P cuya pendiente es , esparalela a la recta secante )('cfAB.
Demostración:
Usando la forma: dos – puntos de la ecuación de la recta, se deduce para la recta secante, la ecuación:
)()()()(axabafbfafy−−−=−
De donde,...